[BZOJ2216]Lightning Conductor

原来决策单调性指的是这个东西...

一些DP可以写成$f_i=\max\limits_{j\lt i}g(i,j)$，设$p_i(p_i<j)$表示使得$g(i,j)$最大的$j$，如果$p_1\leq\cdots\leq p_n$，那么我们称这个DP满足决策单调性，称$p_i$为$i$的最优决策点

决策单调性可以用整体二分来做，设当前要处理$f_{l\cdots r}$且最优决策点的范围是$[h,t]$，那么我们先求出$f_{mid}$，这个直接暴力从$\left[h,\min(mid,t)\right]$转移即可，假设$mid$的最优决策点是$d$，那么我们可以递归做$(l,mid-1,h,d)$和$(mid+1,r,d,t)$，二分总共$O(\log_2n)$层，每一层最多$O(n)$，总时间复杂度$O\left(n\log_2n\right)$

这题的DP方程是$f_i=\max\{a_j+\sqrt{\left|i-j\right|}\}-a_i$，为了把绝对值去掉，我们作限制$j\lt i$，正反各做一遍取最大值即可

$f_i=\max\limits_{j\lt i}\{a_j+\sqrt{i-j}\}-a_i$

设$i$的最优决策点为$p$，那么对于$\forall k\lt p$有$a_k+\sqrt{i-k}\leq a_p+\sqrt{i-p}$

因为$\sqrt{x+1}-\sqrt x$是单调递减的，所以$\sqrt{i+1-k}-\sqrt{i-k}\leq\sqrt{i+1-p}-\sqrt{i-p}$

把它加到上面，我们得到$a_k+\sqrt{i+1-k}\leq a_p+\sqrt{i+1-p}$

这也就说明了$i+1$的最优决策点$\geq p$，也就是说这个DP满足决策单调性

#include<stdio.h>
#include<math.h>
typedef double du;
du max(du a,du b){return ceil(a>b?a:b);}
void swap(int&a,int&b){
	int c=a;
	a=b;
	b=c;
}
int a[500010];
void solve(du*f,int l,int r,int h,int t){
	if(l>r||h>t)return;
	int mid,i,d;
	du res=-2147483647.;
	mid=(l+r)>>1;
	for(i=h;i<=t&&i<=mid;i++){
		if(a[i]+sqrt(mid-i)>res){
			res=a[i]+sqrt(mid-i);
			d=i;
		}
	}
	f[mid]=res-a[mid];
	solve(f,l,mid-1,h,d);
	solve(f,mid+1,r,d,t);
}
du f[500010],g[500010];
int main(){
	int n,i;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);
	solve(f,1,n,1,n);
	for(i=1;i<=n>>1;i++)swap(a[i],a[n-i+1]);
	solve(g,1,n,1,n);
	for(i=1;i<=n;i++)printf("%.0lf\n",max(f[i],g[n-i+1]));
}