线性代数期末大总结II

向量组的线性相关性

向量组及其线性组合：

• n个有次序的数\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数\(a_i\)称为第i个分量。

  若干行同维数的列向量（或者行向量）所组成的集合叫做向量组。

• 向量\(b\)能由向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)线性表示的充要条件是矩阵\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)的秩等于矩阵\(B=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b)\)的秩。

• 设有两个向量组A和B，若B中的每一个元素都可以由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A和B能够相互线性表示，则称这两个向量等价。

• 向量组\(B:b_1,b_2,\cdots,b_l\)能由向量组\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)线性表示（即\(AX=B\)有解）的充要条件是\(R(A)=R(A,B)\)。

  推论：A与B等价的充要条件是\(R(A)=R(B)=R(A,B)\)

• 设向量组B能由向量组A线性表示，则\(R(B)\leq R(A)\)。

向量组的线性相关性：

• 给定向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)，如果存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)使

  \[k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0
  \]

  则称A是线性相关的，否则称为线性无关。

• 向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)线性相关的充要条件是\(R(A)<m\)。线性无关充要条件是\(R(A)=m\)。

• 若向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)线性相关，则向量组\(B：a_1, a_2,\cdots,a_m,a_{m+1}\)也线性相关。反之，若向量组B线性无关，则A也线性无关。

• m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关。

• 设向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)线性无关，而向量组\(B：a_1, a_2,\cdots,a_m,b\)线性相关，则向量b必能由A线性表示，且表示式唯一。

向量组的秩：

设有向量组A，如果在A中能选出r个向量\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)，满足：

1. 向量组\(A_0：a_1,a_2,\cdots,a_r\)线性无关；
2. 向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关，

那么称\(A_0\)是向量组A中的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组），最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记为\(R_A\)。

推论：设向量组\(A_0：a_1,a_2,\cdots,a_r\)是向量组A的一个部分组，且满足：

1. \(A_0\)线性无关；
2. A的任一向量都能由向量组\(A_0\)表示，

那么，\(A_0\)便是A的一个最大无关组。

​

• 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。

线性方程组的解的结构：

• 设\(m\times n\)矩阵\(A\)的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组\(Ax=0\)的解集\(S\)的秩\(R_s=n-r\)。
• 非齐次线性方程组的通解=该方程组的一个特解+对应齐次方程组的通解。

向量空间：

定义1：设V是n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于向量的加法及乘法两种运算封闭，那么称集合V为向量空间。

一般地，由向量组\(a_1,a_2,\cdots,a_m\)所生成的向量空间为：

\[L=\{ x=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots +\lambda_ma_m \ |\ \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m \in R \}
\]

---

定义2：设V是一个向量空间，如果有\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)线性相关且V中任一向量都可以由\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)线性表示，那么\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)就称为向量空间V的一个基，r称为V的维数，并称V为r维向量空间。

---

定义3：如果向量空间V取定一个基\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)，那么V中任意一个向量\(x\)可唯一地表示为

\[x=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots +\lambda_ra_r \
\]

数组\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r\)称为向量\(x\)在基\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)中的坐标。

---

在\(R^3\)中取定一个基\(a_1,a_2,a_3\)，再取一个新基\(b_1,b_2,b_3\)，设\(A=(a_1,a_2,a_3)\)，\(B=(b_1,b_2,b_3)\)。有：

\[(b_1,b_2,b_3)=(a_1,a_2,a_3)P
\]

其中系数矩阵\(P=A^{-1}B\)称为旧基到新基的过渡矩阵。

设向量\(x\)在旧基和新基中的坐标分别为\(y_1,y_2,y_3\)和\(z_1,z_2,z_3\)，则有：

\[\left[\begin{matrix}z_1\\z_2\\z_3\end{matrix}\right]=P^{-1}\left[\begin{matrix}y_1\\y_2\\y_3\end{matrix}\right]
\]

相似矩阵及二次型

正交向量组：

下面讨论正交向量组的性质，所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量。

• 若n维向量构成的向量组中的向量两两正交且为非零向量，则该向量组线性无关。

• 如果n维向量\(e_1,e_2,\cdots,e_r\)是向量空间V的一个基，如果\(e_1,e_2,\cdots,e_r\)两两正交且都是单位下向量，则称其为V的一个标准正交基。

• 设\(a_1,\cdots,a_r\)是向量空间V的一个基，要求V的一个标准正交基。也就是要找到一组两两相交的单位向量\(e_1,\cdots,e_r\)，使得\(e_1,\cdots,e_r\)与\(a_1,\cdots,a_r\)等价。这个问题称为把基\(a_1,\cdots,a_r\)标准正交化。常用方法为施密特正交化，公式如下：

  \[\begin{align}b_1 & = a_1\\b_2 & = a_2-\frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1\\& \cdots \cdots \cdots \cdots \\b_r & = a_r-\frac{[b_1,a_r]}{[b_1,b_1]}b_1-\frac{[b_2,a_r]}{[b_2,b_2]}b_2-\cdots-\frac{[b_{r-1},a_r]}{[b_{r-1},b_{r-1}]}b_{r-1}\end{align}
  \]

正交矩阵：

• 如果n阶矩阵\(A\)满足\(A^TA=E\)（即\(A^{-1}=A^T\)），那么称A为正交矩阵(正交阵)。

正交阵具有以下性质：

1. \(A^{-1}=A^T\)，\(|A|=1或-1\)。
2. 若A、B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵。

• 若\(P\)是正交矩阵，则线性变换\(y=Px\)称为正交变换。
  \[||y||=\sqrt{y^Ty}=\sqrt{x^TP^TPx}=\sqrt{x^Tx}=||x||
  \]

  可以看出：经过正交变换后线段长度不变。

方阵的特征值与特征向量：

定义：设A是n阶矩阵，如果数\(\lambda\)和\(n\)维非零列向量\(x\)使关系式\(Ax=\lambda x\)成立，那么\(\lambda\)称为A的特征值，\(x\)称为A的特征向量。

• \(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}\)

• \(\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n=|A|\)，由此可知：A可逆的充要条件是它的n个特征值全不为零

• 如果\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\)是方阵A的m个特征值，如果他们各不相等，则他们对应的特征向量构成的向量组线性无关。

• 方阵的两个不相等的特征值对应的特征向量\(a_1,\cdots,a_s\)和\(b_1,\cdots,b_t\)，则\(a_1,\cdots,a_s,b_1,\cdots,b_t\)线性无关。

相似矩阵：

定义：设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P使得\(P^{-1}AP=B\)，则称B是A的相似矩阵。

• 若A与B相似，那么A与B特征多项式相同，从而A与B的特征识亦相同。

  推论：若n阶矩阵A与对角矩阵\(diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\)相似，则\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)即是A的特征值。

• n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

  推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A可对角化。但是可对角化不一定就有n个互不相等特征值。

对称矩阵的对角化：

• 设\(\lambda_1,\lambda_2\)是对称矩阵A的两个特征值，\(p_1,p_2\)是对应的特征向量，如果\(\lambda_1 \neq \lambda_2\)，则\(p_1,p_2\)正交。

• 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda\)，其中\(\Lambda\)是以A的特征值为对角元素的对角矩阵。

  推论：设A为n阶对称矩阵，\(\lambda\)是A的特征方程的k重根，则矩阵\(A-\lambda E\)的秩\(R(A-\lambda E)=n-k\)，从而对应特征值\(\lambda\)恰有k个线性无关的特征向量。

二次型及其标准形：

二次型可用矩阵记作：

\[f=x^TAx
\]

对于二次型我们主要讨论的问题是：寻求可逆线性变换使二次型只含有平方项。

合同：设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使得\(B=C^TAC\)，则矩阵A与B合同。显然，如果A为对称矩阵，则B也是对称矩阵。又因为C可逆，所以R(A)=R(B)。

​

经过可逆变换\(x=Cy\)后，

\[\begin{align}f& = y^TC^TACy\\& = [y_1,y_2,\cdots,y_n]\left[\begin{matrix}k_1\\&k_2\\&& \ddots\\&&& k_n\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}y_1\\y_2\\ \vdots \\ y_n\end{matrix}\right]\end{align}
\]

也就是使\(C^TAC\)称为对角矩阵。那么我们的问题就转化成了：对于对称矩阵A，寻求一个可逆矩阵C，使得\(C^TAC\)为对角矩阵。这个问题称为对称矩阵A的合同对角化。

​

• 任给二次型，总有正交变换\(x=Py\)，使\(f\)化为标准型\(f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2\)，其中平方项系数是\(f\)的矩阵\(A=(a_{ij})\)的特征值。

正定二次型：

• 设二次型\(f=x^TAx\)的秩为r，且有两个可逆变换\(x=Cy\)，\(x=Py\)使
  \[f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots+k_ry_r^2\\f=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\cdots+\lambda_rz_r^2
  \]

  则\(k_1,k_2,\cdots,k_r\)中正数的个数与\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r\)中的正数的个数相等。这个定理称为惯性定理。二次型标准型中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数个数称为负惯性指数。

正定二次型：设二次型f对于任何不为零的x都有\(f(x)>0\)，则称f为正定二次型，称对称矩阵A是正定的。反之为负。

• n元二次型f为正定的充要条件是：标准型n个系数全为正，规范型n个系数全为1，正惯性指数为n。

  推论：对称矩阵A为正定的充要条件：A的特征值全为正。

• 对称矩阵A为正定的充要条件：A的各阶主子式都为正。

• 对称矩阵A为负定的充要条件：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。