Towards Evaluating the Robustness of Neural Networks

概
主要内容

Nicholas Carlini, David Wagner, Towards Evaluating the Robustness of Neural Networks

概

提出了在不同范数下$\ell_0, \ell_2, \ell_{\infty}$下生成adversarial samples的方法, 实验证明此类方法很有效.

主要内容

基本的概念

本文主要针对多分类问题, 假设神经网络$F:x \in \mathbb{R}^n \rightarrow y \in \mathbb{R}^m$, 其网络参数为$\theta$.

假设:

\[F(x)=\mathrm{softmax}(Z(x))=y,
\]

其中$\mathrm{softmax}(x)_i=\frac{e^{x_i}}{\sum_j e^{x_j}}$.

\[C(x) = \arg \max_i F(x)_i,
\]

为$x$的预测类, 不妨设$C^*(x)$为其真实的类别.

Adversarial samples 的目标就是构建一个与$x$相差无几的$x'$($\|x-x'\|$足够小)，但是$C(x')\not =C^*(x)$. 很多构建Adversarial samples可以指定类别:

Average Case: 在不正确的标签中随机选取类别;
Best Case: 对所有不正确的标签生成Adversariak samples, 并选择最容易成功(即骗过网络)的类别;
Worst Case:对所有不正确的标签生成Adversariak samples, 并选择最不容易成功的类别.

文章中介绍了不少现有的方法, 这里不多赘述.

目标函数

一般可以通过如下问题求解$x'=x+\delta$:

\[\begin{array}{ll}
\min & \mathcal{D}(x, x+\delta) \\
\mathrm{s.t.} & C(x+\delta)=t \\
& x + \delta \in [0, 1]^n,
\end{array}
\]

其中$\mathcal{D}$衡量$x,x+\delta$之间的距离, 常常为$\ell_0, \ell_2, \ell_{\infty}$.

但是$C(x+\delta)=t$这个条件离散, 这个问题很难直接求解, 作者给出的思路是构造一些函数$f(x,t)$, 使得当且仅当$f(x,t)\le0$的时候此条件满足.

则问题转换为:

\[\begin{array}{ll}
\min & \mathcal{D}(x, x+\delta) \\
\mathrm{s.t.} & f(x,t) \le 0 \\
& x + \delta \in [0, 1]^n,
\end{array}
\]

进一步

\[\begin{array}{ll}
\min & \mathcal{D}(x, x+\delta) + cf(x,t) \\
\mathrm{s.t.}
& x + \delta \in [0, 1]^n.
\end{array}
\]

作者给出了7种符合此类条件的函数(作者尤为推荐第6种):

如何选择c

binary search

如何应对Box约束

图片的元素需要满足$0\le x_i \le 1$, 如何满足此约束:

简单粗暴地对其裁剪, 大于1的为1, 小于0的为0, 但是这种方法在梯度下降方法比较复杂(如带momentum)的时候效果可能不会太好(既然momemtum要记录变量改变的方向, 而我们又擅自对此方向进行更改);
用$f(\min (\max(x+\delta,0),1)$替代$f(x+\delta)$, 我的理解是, 每次不改变原变量$x'$, 然后把clip后的$x'$喂给$f$. 作者说此类方法容易方法在次优解间来回振荡的现象;
定义

\[\delta_i = \frac{1}{2}(\tanh (w_i) +1)-x_i,
\]

于是我们只需优化$w_i$, 且保证$x_i + \delta_i \in [0, 1]$.

$L_2$ attack

\[\min \quad \|\frac{1}{2}(\tanh(w)+1)-x\|_2^2+c\cdot f(\frac{1}{2}(\tanh(w)+1), t),
\]

其中

\[f(x',t)=\max(\max \{Z(x')_i:i \not =t\}-Z(x')_t, -\kappa),
\]

是对第6种方法的一个小改进, 其中$\kappa$反应了我们对误判发生的信心.

$L_0$ attack

因为$L_0$范数不可微, 所以每一次, 我们先利用$L_2$ attack来寻找合适的$\delta$, 令$g=\nabla f(x+\delta)$, 根据$g_i \delta_i$判断每个像素点的重要性, 最不重要的我们删去(根据文中的意思是永久删去).

Input: $x, c$
$I=\empty$
Do ...:
1. 计算在$L_2$下的解$x+\delta$（倘若在$c$下找不到, 则在$2c$条件下找(嵌套)）;
2. $g=\nabla f(x+\delta)$;
3. $i=\arg \min_i g_i \cdot \delta_i, i \not \in I$, 然后$I=I \cup \{i\}$;

在利用$L_2$寻找$\delta$的过程中, 若失败, 令$c=2c$并重复进行, 直到其成功或者超过了最大的迭代次数.

$L_{\infty}$ attack

$\|\delta\|_{\infty}$作为惩罚项(?)只会针对个别元素, 这在实际实验的时候并不友好, 往往会出现振荡, 于是作者想了一种替代

\[\min \quad c \cdot f( x+ \delta) + \sum_i [(\delta_i-\tau)^+],
\]

这样我们就把可以关注部分突出而非个别.