MCMC using Hamiltonian dynamics

算法
符号说明
Hamilton方程
MCMC
HMC在实际中的应用和理论
HMC的扩展和变种
代码

Neal R. M. , MCMC Using Hamiltonian Dynamics[J]. arXiv: Computation, 2011: 139-188.

@article{neal2011mcmc,

title={MCMC Using Hamiltonian Dynamics},

author={Neal, Radford M},

journal={arXiv: Computation},

pages={139--188},

year={2011}}

Hamiltonian Monte Carlo-wiki

算法

先把算法列一下.

Input: 初始值$q$, 步长$\epsilon$与leapfrog迭代次数$L$.

令$q^{(0)} = q$;
循环迭代直到停止条件满足(以下第$t$步):

从标准正态分布中抽取$p$, $q = q^{{(t-1)}}$, $p^{(t-1)} = p$.

\[\tag{alg.1}
p = p- \epsilon \nabla_q U(q) / 2,
\]

重复 $i=1,2,\ldots, L$:

\[\tag{alg.2}
q = q + \epsilon \nabla_pH(p),
\]

如果$i \not = L$:

\[\tag{alg.3}
p = p- \epsilon \nabla_q U(q).
\]

\[\tag{alg.4}
p = p- \epsilon \nabla_q U(q) / 2, \quad p^* = -p, q^*=q.
\]

计算接受概率

\[\tag{alg.5}
\alpha = \min \{ 1, \exp(-H(q^*,p^*) + H(q^*, p^*)\}.
\]

从均匀分布$U(0,1)$中抽取$u$, 如果$u<\alpha$, $q^{(t)}=q^*$, 否则$q^{(t)}=q^{(t-1)}$.

output: $\{p^{(t)},q^{(t)}\}$.

注: 1中的标准正态分布不是唯一的, 但是文中选的便是这个. 4中的$p^*=-p$在实际编写程序的时候可以省去.

符号说明

因为作者从物理方程的角度给出几何解释，所以这里给出的符号一般有俩个含义:

符号	概率	物理
$q$	随机变量，服从我们所在意的分布	冰球的位置
$p$	用以构造马氏链的额外的变量	冰球的动量(mv)
$U(q)$	...与我们所在意的分布有关	冰球的势能
$K(p)$	...	冰球的动能
$H(q, p)$	与我们所在意的分布有关	$H(q, p) = U(q) + K(p)$

Hamilton方程

物理解释

Hamilton方程($i=1,2,\ldots, d$, $d$是维度):

\[\tag{2.1}
\frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}
\]

\[\tag{2.2}
\frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}
\]

这个东西怎么来的, 大概是因为$H(q, p) = U(q)+K(p)$, 如果机械能守恒, 那么随着时间$t$的变化$H(q, p)$应该是一个常数, 所以其关于t的导数应该是0.

\[\frac{dH}{dt} = \sum_i [\frac{\partial H}{\partial p_i} \frac{dp_i}{dt}+\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{dq_i}{dt}] = (\nabla_p H)^T \dot{p}+(\nabla_qH)^T \dot{q} = 0,
\]

其中$\dot{p}=(\partial{p_1}/\partial t, \ldots, \partial p_d / \partial t)$.

而$(2.1)$, 左边是速度$\dot{q} = v$, 右边

\[\nabla_p H = \nabla_p K = \nabla_p \frac{|p|^2}{2m} = \frac{p}{m} = v=\dot{q}.
\]

不过，估计是先有的(2.2)再有的H吧, 就先这么理解吧. 需要一提的是, $K(p)$通常定义为

\[K(p)=p^TM^{-1}p/2,
\]

其中$M$是对称正定的, 后面我们可以看到, 这种取法与正态分布相联系起来.

此时:

一些性质

可逆 Reversibility

映射$T_s: (q(t), p(t)) \mapsto (q(t+s), p(t+s))$是一一的，这个我感觉只能从物理的解释上理解啊, 一个冰球从一个点到另一个点, 现在H确定, 初值确定, 不就相当于整个轨迹都确定了吗, 那从哪到哪自然是一一的, 也就存在逆$T_{-s}$, 且只需:

\[\frac{dq_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial p_i},
\]

\[\frac{dp_i}{dt} = -(-\frac{\partial H}{\partial q_i}).
\]

H的不变性

即

当然, 因为我们的算法是离散化的, 所以这个性质只是在$\epsilon$比较小的时候近似保持.

保体积 Volume preservation

即假设区域$R=\{(q,p)\}$在映射$T_t$的作用下为$R_t=\{(q(t), p(t)\}$, 则二者的体积相同, 均为$V$.

定义

\[v(t)= \int_{R_t} dV = \int_{R} \det( \frac{\partial T_t}{\partial z}) dV,
\]

其中$z = (q, p)$. 又

\[z(t) = T_tz = z+t J\nabla H(z) + \mathcal{O}(t^2),
\]

其中

\[f:=\frac{dz}{dt} = J\nabla H(z), \\
J = \left (
\begin{array}{ll}
0_{d \times d} & I_{d\times d} \\
-I_{d\times d} & 0_{d \times d}
\end{array}\right ).
\]

所以

\[\frac{\partial{T_t}}{\partial z} = I + \frac{\partial f}{\partial z}t + \mathcal{O}(t^2),
\]

又对于任意方阵$A$，

所以

\[\det (\frac{\partial{T_t}}{\partial z} ) = 1 + \mathrm{tr}(\partial f / \partial z) t + \mathcal{O}(t^2),
\]

且$\mathrm{tr}(\partial f / \partial z)=\mathrm{div} f$, 于是

\[\frac{d v}{ d t} |_{t=0} = \int_{R}\mathrm{div} f \: d V.
\]

又

\[\mathrm{div}f = \mathrm{div} J\nabla H(z) = J \mathrm{div} \nabla H(z) = \sum_{i=1}^d [\frac{\partial}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q_i}] = 0.
\]

对于$t=t_0$, 我们都可以类似的证明$dv(t_0)/dt=0$, 所以$v(t)$是常数.

这部分的证明参考自

Here

辛 Symplecticness

离散化Hamilton方程 leapfrog方法

下面四幅图, 是$U(q)=q^2/2, K(p)=p^2/2$, 起始点为$(q, p) = (0, 1)$.

Euler's method

如果假定$K(p) = \sum_{i=1}^d \frac{p_i^2}{2m_i}$,

Modified Euler's method

仅有一个小小的变动,

Leapfrog method

注意到, 在实际编写程序的时候, 除了第一步和最后一步, 我们可以将$p$的俩个半步合并成一步.

另外从右下角的图可以发现, 因为离散化的缘故, $H(q, p)$的值是有偏差的. 但是Leapfrog 方法和 modified Euler方法都是保体积的, 因为每步更新都只改变一个量, 可以验证其雅可比行列式为1.

MCMC

概率与Hamiltonian, 正则(canonical)分布

如何将分布于Hamilton方程联系在一起? 假如, 我们关心的是$q$的分布$P(q)$, 则我们构造一个容易采样的分布$P(q)$,

\[\tag{3.2}
P(q, p) = \frac{1}{Z}\exp(-H(q,p)/T),
\]

其中$Z$是规范化的常数, $T$一般取1. 从(3.2)中容易得到$H(q,p)$. 事实上此时$q, p$是独立的(这么写是说明直接构造$P(q, p)$也是可以的), 则可以分别

\[P(q) = \frac{1}{Z_1}\exp(-U(q)/T), \\
P(p) = \frac{1}{Z_2}\exp(-K(p)/T).
\]

在贝叶斯统计中, 有

\[U(q) = -\log [\pi (q) L(D|q)],
\]

其中$D$为数据, $L$为似然函数, 与文章中不同, 文章中是$L(q|D)$, 应该是笔误.

HMC算法

就是开头提到的算法, 但是其中有一些地方值得思考. (alg.4)我们令$p^*=-p$, 这一步在实际中是不起作用的, 既然$K(p)=K(-p)$而且在下轮中我们重新采样$p$, 我看网上的解释是为了理论, 取反这一部分使得proposal是对称的, 是建议分布$g(p^*, q^*|p, q)=g(p, q| p^*, q^*)$? 不是很懂.

关于这个问题的讨论

有点明白了, 首先因为Leapfrog是确定的, 所以$P(q^*, p^*|q, p)$非0即1:

\[P(q^*, p^*|q, p) = \delta(q^*,p^*,q,p) =
\left \{
\begin{array}{ll}
1, & T_{L\epsilon} (q, p) = q^*, p^*, \\
0, & T_{L\epsilon} (q, p) \not = q^*, p^*.
\end{array}
\right.
\]

为了$P(q^*, p^*|q, p)=P(q, p|q^*, p^*)$, 如果不取反肯定不行, 因为他就会往下走, 取反的操作实际上就是在可逆性里提到的, 在同样的操作下, $q^*, p^*$会回到$q, p$. 于是MH接受概率就退化成了M接受概率. 但是前文也提到了, 取反的操作, 只有在$K(p)=K(-p)$的情况下是成立的.

HMC保持正则分布不变的证明 detailed balance

假设$\{A_k\}$是$(q, p) \in \mathbb{R}^{2d}$空间的一个分割, 其在L次leapfrog的作用, 及取反的操作下的像为$\{B_k\}$, 由于可逆性, $\{B_k\}$也是一个分割, 且有相同的体积$V$(保体积性)，则

\[P(A_i) T(B_j|A_i) = P(B_j)T(A_i|B_j).
\]

实际上$i\not =j$是时候是显然的, 因为二者都是0. 因为$H$是连续函数, 当$V$变得很小的时候, $H$在$X$区域上的值相当于常数$H_X$, 于是

所以(3.7)成立.

Detailed balance:

其中$R(X)$是当前状态属于$X$, 拒绝提议的$(q^*,p^*)$的概率. 注意$\sum_{i} T(A_i|B_k)=T(A_k|B_k)=1-R(B_k)$. 看上面的连等式可能会有点晕, 注意到, 左端实际上是概率$P\{q^{(t)}, p^{(t)}) \in B_k\}$, 最右端是$P\{(q^{(t-1)}, p^{(t-1)}) \in B_k\}$, 这样就能明白啥意思了.

遍历性 Ergodicty

马氏链具有遍历性才会收敛到一个唯一的分布上(这部分不了解), HMC是具有这个性质的, 只要$L$和$\epsilon$选的足够好. 但是如果选的不过也会导致坏的结果, 比如上面的图, $p^2+q^2=1$, 如果我们选择了$L\epsilon \approx 2\pi$, 那么我们的Leapfrog总会带我们回到原点附近, 这就会导致比较差的结果.

HMC的一个例子及优势

下图是:

$\epsilon=0.25, L=30, q = [-1.5, -1.55]^T, p=[-1, 1^T]$.

相关系数由$0.95$改为$0.98$, $\epsilon=0.18, L=20$, 随机游走取的协方差矩阵为对角阵, 标准差为$0.18$, HMC生成$p$的为标准正态分布.

文章中提到, HMC较Randomwalk的优势在于，Randomwalk对协方差很敏感, 而且太大会导致接受率很低, 太小俩俩之间的相关性又会太高.

HMC在实际中的应用和理论

线性变换

有些时候, 我们会对变量施加线性映射$q'=Aq$($A$非奇异方阵), 此时新的密度函数$P'(q') = P(A^{-1}q') / |\det (A)|$, 其中$P(q)$是$q$的密度函数, 相应的我们需要令$U'(q')=U(A^{-1}q')$.

如果我们希望线性变化前后不会是的情况变得"更糟", 一个选择是$p'=(A^T)^{-1}p$，则$K'(p')=K(A^Tp')$, 如果$K(p) = p^TM^{-1}p / 2$, 则

其中$M' = (AM^{-1}A^T)^{-1}=(A^{-1})^TMA^{-1}$. 此时$(q', p')$的更新会使得原先的$(q,p)$的更新保持, 即

所以$(q, p)$本质上按照原来的轨迹发生着变化.

设想, 我们对$q$的协方差矩阵有一个估计$\Sigma$, 且近似服从高斯分布, 我们可以对其做Cholesky分解$\Sigma=LL^T$, 并且令$q'=L^{-1} q$, 则$q'$的各分量之间就相互独立了, 那么我们很自然的一个选择是$K(p)=p^Tp/2$, 那么$q'$的各分量的独立性能够保持.

另一个做法是, 保持$q$不变, 但是$K(p) = p^T \Sigma p / 2$, 此时$q'=L^{-1}q, p'=(L^{T})^{-1}p$, 则相当于

\[K(p')=(p')^T{M'}^{-1}p', \quad M' = (L^{-1}LL^T(L^{-1})^T)^{-1}=I.
\]

所以俩个方法是等价的.

HMC的调整$\epsilon, L$

HMC对$\epsilon, L$的选择比较严苛.

预先的实验

我们可以对一些$\epsilon,L$进行实验, 观察轨迹, 虽然这个做法可能产生误导, 另外在抽样过程中随机选择$\epsilon, L$是一个不错的选择.

stepsize $\epsilon$

$\epsilon$的选择很关键, 如果太大, 会导致低的接受率, 如果太小, 不仅会造成大量的计算成本, 且如果此时$L$也很小, 那么HMC会缺乏足够的探索.

考虑下面的例子:

每一次leapfrog将$(q(t), p(t))$映射为$(q(t+s), p(t+s))$, 则

$(q, p)$是否稳定, 关键在于系数矩阵的特征值的模(?还是实部)是否小于1, 特征值为

当$\epsilon>2\sigma$的时候，(4.6)有一个实的大于1的特征值, 当$\epsilon < 2 \sigma$的时候, 特征值是复制, 且模为:

所以, 我们应当选择$\epsilon < 2\sigma$.

在多维问题中, $K(p)=p^Tp/2$,如果$q<0$且协方差矩阵为$\Sigma$, 我们可以取协方差矩阵的最小特征值(非零?)作为步长. 如果$K(p)=p^TM^{-1}p/2$, 我们可以通过线性变化将其转换再考虑.

tracjectory length $L$

如何选择$L$也是一个问题, 我们需要足够大的$L$使得每次的探索的足够的, 以便能够模拟出独立的样本, 但是正如前面所讲, 大的$L$不仅会带来计算成本, 而且可能会导致最后结果在起点附近(由周期性带来的麻烦). 而且$L$没法通过轨迹图正确的选择. 一个不错的想法是在一个小的区间内随机选择$L$, 这样做可能会减少由于周期性带来的麻烦.

多尺度

我们可以利用$q$的缩放信息, 为不同的$q_i$添加给予不同的$\epsilon_i$. 比方说在$K(p)=p^Tp/2$的前提下, 应该对$q_i$放大$s_i$倍, 即$q'= q / s_i$($p$不变).

等价的, 可以令$K(p) = p^TM^{-1}p / 2, m_i = 1/ s_i^2$($q$不变), 相当于$q_i'=q_i/s_i, p'=s_ip$, 则

$m_i' = s_i (1/ s_i^2)s_i=1$, 所以$K(p')=(p')^Tp'/2$. 这么做就相当于一次leapfrog为:

结合HMC与其它MCMC

当我们所关心的变量是离散的, 或者其对数概率密度($U(q)$)的导数难以计算的时候, 结合其它MCMC是有必要的.

Scaling with dimensionality

$U(q) = \sum u_i(q_i)$的情况

如果$U(q)=\sum u_i(q_i)$，且$u_i$之间相互独立(?), 这种假设是可行的, 因为之前已经讨论过，对于$q$其协方差矩阵为$\Sigma$, 我们可以通过线性变化使其对角化, 且效能保持.

Cruetz指出, 任何的Metropolis形式的算法在采样密度函数$P(x)=\frac{1}{Z}\exp(-E(x))$的时候都满足:

其中$x$表现在的状态, 而$x^*$表提议. 则根据Jensen不等式可知:

\[1 = \mathbb{E}[\exp(\Delta)] \ge \exp(\mathbb{E}[-\Delta]),
\]

所以$\mathbb{E}[-\Delta]\le 0$,

\[\tag{4.18}
\mathbb{E}[\Delta] \ge 0.
\]

在$U(q) = \sum u_i(q_i)$的情况下, 令$\Delta_1:=E(x^*)-E(x)$, $x=q_i, E(x)=u_i(q_i)$或者$x=(q_i, p_i), E(x)=u_i(q_i)=p_i^2/2$. 对于整个状态, 我们则用$\Delta_d$表示, 则$\Delta_d$是所有$\Delta_1$的和. 既然$\Delta$的平均值均为正, 这会导致接受概率$\min (1, \exp(-\Delta_d)$的减小(随着维度的增加), 除非以减小步长作为代价, 或者建议分布的宽度进一步降低(即$x,x^*$尽可能在一个区域内).

因为$\exp(-\Delta_1) \approx 1 -\Delta_1+\Delta_1^2 / 2$, 再根据(4.17)得:

\[\tag{4.19}
\mathbb{E} [\Delta_1] \approx \mathbb{E} [\Delta_1^2]/2.
\]

故$\Delta_1$的方差约是均值的两倍($\Delta_1$足够小的时候), 类似的也作用与$\Delta_d$. 为了有一个比较好的接受率, 我们应当控制$\Delta_d$的均值在1左右(小于?), 此时$\exp(-1)\approx0.3679$.

HMC的全局误差(标准差)在$\mathcal{O}(\epsilon^2)$级别, 所以$\Delta_1^2$应当在$\epsilon^4$级别, 所以$\mathbb{E}[\Delta_1]$也应当在$\epsilon^4$级别, 则$\mathbb{E}[\Delta_d]$在$d\epsilon^4$级别上, 所以为了保持均值为1左右, 我们需要令$\epsilon$正比于$d^{-1/4}$, 相应的$L$为$d^{1/4}$.

文章中还有关于Randomwalk的分析, 这里不多赘述了.

HMC的扩展和变种

这个不一一讲了, 提一下

分割

假如$H$能够分解成:

那么我们可以一个一个来处理, 相当于$T_{1, \epsilon} \circ T_{2, \epsilon}, \circ \cdots \circ T_{k-1, \epsilon} \circ T_{k, \epsilon}$. 这个做法依旧是保体积的(既然每一个算子都是保体积的), 但是如果希望其可逆(对称), 这就要求$H_i(q, p)=H_{k-i+1}(q, p).$ 这个有很多应用场景:

比如$U(q) = U_0(q)+U_1(q)$, 其中计算$U_0$如果是容易的, 我们可以作如下分解:

此时有$3M+2$项, $H_1(q, p) = H_k(q, p)=U_1(q)/2$, $H_{3i-1}=H_{3i+1}=U_0(q)/2M$, $H_{3i}=K(p)/M$. 此时对于中间部分, 相当于步长变小了，误差自然会小.

当处理大量数据, 并用到似然函数的时候：

不过文章中说这个分解是不对称的, 可明明是对称的啊.

处理约束

有些时候, 我们对$q$有约束条件, 比方$q >v, q<w$等等, 直接给算法:

Langevin method, LMC

假设我们使用$K(p)=(1/2)\sum p_i^2$, $p$从标准正态分布中采样, 每次我们只进行一次leapfrog变计算接受概率, 即

以及其接受概率:

Windows of states

这个方法试图将$H$的曲线平滑来提高接受率.

我们可以通过任意$(q, p)$构造一列$[(q_0, p_0), \ldots, (q_{W-1}, p_{W-1})]$. 首先从$\{0, 1, \ldots, W-1\}$中等概率选一个数, 这个数代表$(q, p)$在序列中的位置, 记为$(q_s, p_s)$, 则其前面的可以通过leapfrog ($-\epsilon$)产生, 后面的通过leapfrog($+\epsilon$)产生. 所以任意列的概率密度为:

然后从$(q_{W-1}, p_{W-1})$出发, 通过L-W+1步leapfrog($+\epsilon$)获得$[q_W,p_W,\ldots, (q_L, p_L)]$并定义提议序列为$[(q_L, -p_{L}), \ldots, (q_{L-W+1}, p_{L-W+1)}]$，计算接受概率:

其中$P(q, p)\propto \exp(-H(q,p))$. 设拒绝或者接受后的状态为:$[(q_0^+, p_0^+), \ldots, (q_{W-1}^+, p_{W-1}^+)]$, 依照概率

抽取$(q_e^+, p_e^+)$, 这个就是$(q,p)$后的下一个状态.

文中说这么做分布不变, 因为:

如果没理解错, 前面的部分就是$(q_e^+, p_e^+)$出现在最开始的序列中的概率, 但是中间的接受概率哪里去了？总不能百分百接受吧...

代码

import numpy as np

from collections.abc import Iterator, Callable

from scipy import stats

class Euler:

    """

    Euler方法

    """

    def __init__(self, grad_u, grad_k, epsilon):

        self.grad_u = grad_u

        self.grad_k = grad_k

        self.epsilon = epsilon

    def start(self, p, q, steps):

        trajectory_p = [p]

        trajectory_q = [q]

        for t in range(steps):

            temp = p - self.epsilon * self.grad_u(q)  # 更新一步P

            q = q + self.epsilon * self.grad_k(p)  # 更新一步q

            p = temp

            trajectory_p.append(p)

            trajectory_q.append(q)

        return trajectory_p, trajectory_q

    def modified_start(self, p, q, steps):

        """

        启动！

        :param p:

        :param q:

        :param steps:  步数

        :return: p, q

        """

        trajectory_p = [p]

        trajectory_q = [q]

        for t in range(steps):

            p = p - self.epsilon * self.grad_u(q) #更新一步P

            q = q + self.epsilon * self.grad_k(p) #更新一步q

            trajectory_p.append(p)

            trajectory_q.append(q)

        return trajectory_p, trajectory_q

class Leapfrog:

	"""

	Leapfrog 方法

	"""

    def __init__(self, grad_u, grad_k, epsilon):

        self.grad_u = grad_u

        self.grad_k = grad_k

        self.epsilon = epsilon

        self.trajectory_q = []

        self.trajectory_p = []

    def start(self, p, q, steps):

        self.trajectory_p.append(p)

        self.trajectory_q.append(q)

        for t in range(steps):

            p = p - self.epsilon * self.grad_u(q) / 2

            q = q + self.epsilon * self.grad_k(p)

            p = p - self.epsilon * self.grad_u(q) / 2

            self.trajectory_q.append(q)

            self.trajectory_p.append(p)

        return p, q



class HMC:

	"""

	HMC方法

	start为进行一次

	accept_prob: 计算接受概率

	hmc: 完整的过程

	acc_rate: 接受概率

	"""

    def __init__(self, grad_u, grad_k, hamiltonian, epsilon):

        assert isinstance(grad_u, Callable), "function needed..."

        assert isinstance(grad_k, Callable), "function needed..."

        assert isinstance(hamiltonian, Callable), "function needed..."

        self.grad_u = grad_u

        self.grad_k = grad_k

        self.hamiltonian = hamiltonian

        self.epsilon = epsilon

        self.trajectory_q = []

        self.trajectory_p = []

    def start(self, p, q, steps):

        self.trajectory_p.append(p)

        self.trajectory_q.append(q)

        p = p - self.epsilon * self.grad_u(q) / 2

        for t in range(steps-1):

            q = q + self.epsilon * self.grad_k(p)

            p = p - self.epsilon * self.grad_u(q)

        q = q + self.epsilon * self.grad_k(p)

        p = p - self.epsilon * self.grad_u(q) / 2

        p = -p

        return p, q

    def accept_prob(self, p1, q1, p2, q2):

        """

        :param p1: 原先的

        :param q1:

        :param p2: 建议的

        :param q2:

        :return:

        """

        p1 = np.exp(self.hamiltonian(p1, q1))

        p2 = np.exp(self.hamiltonian(p2, q2))

        alpha = min(1, p1 / p2)

        return alpha

    def hmc(self, generate_p, q, iterations, steps):

        assert isinstance(generate_p, Iterator), "Invalid generate_p"

        self.trajectory_q = [q]

        p = next(generate_p)

        self.trajectory_p = [p]

        count = 0.

        for t in range(iterations):

            tempp, tempq = self.start(p, q, steps)

            if np.random.rand() < self.accept_prob(p, q, tempp, tempq):

                p = tempp

                q = tempq

                self.trajectory_p.append(p)

                self.trajectory_q.append(q)

                count += 1

            p = next(generate_p)

        self.acc_rate = count / iterations

        return self.trajectory

    @property

    def trajectory(self):

        return np.array(self.trajectory_p), \

               np.array(self.trajectory_q)

class Randomwalk:

	"""

	walk: 完整的过程, 实际上Metropolis更新似乎就是start中steps=1,

	一开始将文章的意思理解错了, 不过将错就错, 这样子也能增加一下灵活性.

	"""

    def __init__(self, pdf, sigma):

        assert isinstance(pdf, Callable), "function needed..."

        self.pdf = pdf

        self.sigma = sigma

        self.trajectory = []

    def start(self, q, steps=1):

        for t in range(steps):

            q = stats.multivariate_normal.rvs(mean=q,

                                              cov=self.sigma)

        return q

    def accept_prob(self, q1, q2):

        """

        :param q1: 原始

        :param q2: 建议

        :return:

        """

        p1 = self.pdf(q1)

        p2 = self.pdf(q2)

        alpha = min(1, p2 / p1)

        return alpha

    def walk(self, q, iterations, steps=1):

        self.trajectory = [q]

        count = 0.

        for t in range(iterations):

            temp = self.start(q, steps)

            if np.random.rand() < self.accept_prob(q, temp):

                q = temp

                count += 1

            self.trajectory.append(q)

        self.acc_rate = count / iterations

        return np.array(self.trajectory)