正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3971


题目大意

一个\(1\sim n\)的一个排列,设\(a_i\)表示以\(i\)结尾的最长上升子序列长度,\(b_i\)表示以\(i\)开头的最长下降子序列长度。

给出序列\(a\)求序列\(b\)的最大和。

\(1\leq n\leq 10^5\)


解题思路

考虑数组\(a\)带来的限制

  • 对于一个\(a_i=a_j=w(i<j)\)那么有\(x_i>x_j\)
  • 对于一个\(a_j=w+1\)前一个最近的\(a_i=w\)那么有\(x_i<x_j\)

第一个限制其实不用管,因为如果我们要最优,一定会满足那个限制。

考虑第二个限制,我们将\(i\)向\(j\)连一条边,这样我们就可以得到一棵树(把\(0\)视为虚根的话)。

那么我们子节点的权值一定要比父节点的大,然后在满足这个的前提下我们优先扩展编号大的节点就好了。

也就是从大到小跑一遍\(dfs\)序就可以得到\(x\)数组。

然后用树状数组统计一下答案。

时间复杂度\(O(n\log n)\)


code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
const int N=1e5+10;
struct node{
int to,next;
}a[N];
int n,tot,cnt,dfn[N],ls[N],t[N],las[N];
long long ans;
void addl(int x,int y){
a[++tot].to=y;
a[tot].next=ls[x];
ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x){
dfn[x]=++cnt;
for(int i=ls[x];i;i=a[i].next)
dfs(a[i].to);
return;
}
void Change(int x,int val){
while(x<=n){
t[x]=max(t[x],val);
x+=lowbit(x);
}
return;
}
int Ask(int x){
int ans=0;
while(x){
ans=max(ans,t[x]);
x-=lowbit(x);
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
int x;scanf("%d",&x);
addl(las[x-1],i);las[x]=i;
}
cnt=-1;dfs(0);
for(int i=n;i>=1;i--){
int t=Ask(dfn[i])+1;
ans+=t;
Change(dfn[i],t);
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

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