[loj3076]公园
为了方便，对题意做以下处理：
1.称"西部主题"和"科幻主题"分别为黑色和白色
2.删去题中"保证没有两条不同的道路连接同一对景点"的条件
关于题中的条件，即保证图中总存在重边、一度点或二度点（或仅剩一个点）
（具体证明参考2019年的论文，这里就省略了）
考虑对这些特殊的结构进行处理，具体如下——
对于节点$x$，将其点权$w_{x}$用一个$2\times 1$的矩阵描述，分别为$x$染黑色和白色的美观度
对于边$(x,y)$，将其边权$v_{(x,y)}$用一个$4\times 1$的矩阵描述，分别为$x$染黑色$y$染黑色、$x$染黑色$y$染白色、$x$染白色$y$染黑色和$x$染白色$y$染白色时这条边的美观度
关于重边，假设两边分别为$e_{1}$和$e_{2}$，构造边权之间的二元运算$\oplus$，使得合并后新边边权为$v_{e_{1}}\oplus v_{e_{2}}$
关于一度点，假设该点为$x$、出边为$e$、出边终点为$y$，构造点权、边权和点权之间的三元运算$\odot$（结果为点权），使得合并后新点点权为$\odot\left(w_{x},v_{e},w_{y}\right)$
关于二度点，假设该点为$x$，出边分别为$e_{1}$和$e_{2}$，构造边权、点权和边权之间的三元运算$\otimes$（结果为边权），使得合并后新边边权为$\otimes(v_{e_{1}},w_{x},v_{e_{2}})$（方向为从$e_{1}$终点指向$e_{2}$终点）
另外，注意到每一条边仅存储了一个方向，可能会导致无法合并，因此还需要一个反向操作
为了让其更形式化，构造边权的一元运算$R$，使得$R(w_{e})$为将$e$反向后的边边权
（为了让阅读更连贯，具体的构造都放在文末）
由此，可以得到一棵表达式树，树上的叶子节点存储初始的点权和边权，非叶子节点存储一种运算（上述四种之一），运算后根节点必然是点权且将两值取$\max$即为答案
类似于动态dp，将其树链剖分，问题即是要修改某个位置的值后能快速维护其重链顶端的值
提取一个类似于矩阵乘法的运算$*$，满足$A*B=C$，其中$A,B$和$C$分别是$a\times b,b\times c$和$a\times c$的矩阵，并且有$C_{i,j}=\max_{k=1}^{b}(a_{i,k}+b_{k,j})$，显然其与矩阵乘法一样满足结合律
通过这个运算，那么在这之前的四种运算中，每次运算结果都可以看作其中任意一个参与运算的变量左$*$一个矩阵（这个矩阵由剩下的参与运算的变量确定）
由此，在每个位置上记录需要左$*$的矩阵，根据$*$的结合律即可用线段树维护（注意每次要从链尾算起）
总复杂度为$o(n\log^{2}n)$，可以通过
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define N 100005
4 #define M 1000005
5 #define ll long long
6 #define L (k<<1)
7 #define R (L+1)
8 #define mid (l+r>>1)
9 int n,m,V,q,x,y,num[20],op[M],v[M][3];
10 struct matrix{
11 int n,m;
12 ll a[4][4];
13 bool operator != (const matrix &k)const{
14 if ((n!=k.n)||(m!=k.m))return 1;
15 for(int i=0;i<k.n;i++)
16 for(int j=0;j<m;j++)
17 if (a[i][j]!=k.a[i][j])return 1;
18 return 0;
19 }
20 matrix(){
21 n=m=0;
22 memset(a,-0x3f,sizeof(a));
23 }
24 }w[M],trans[M];
25 int read(){
26 int x=0;
27 char c=getchar();
28 while ((c<'0')||(c>'9'))c=getchar();
29 while ((c>='0')&&(c<='9')){
30 x=x*10+c-'0';
31 c=getchar();
32 }
33 return x;
34 }
35 void write(ll n,char c='\0'){
36 while (n){
37 num[++num[0]]=n%10;
38 n/=10;
39 }
40 if (!num[0])putchar('0');
41 while (num[0])putchar(num[num[0]--]+'0');
42 putchar(c);
43 }
44 matrix mul(matrix a,matrix b){
45 matrix ans;
46 ans.n=a.n,ans.m=b.m;
47 for(int i=0;i<a.n;i++)
48 for(int j=0;j<a.m;j++)
49 for(int k=0;k<b.m;k++)ans.a[i][k]=max(ans.a[i][k],a.a[i][j]+b.a[j][k]);
50 return ans;
51 }
52 matrix get(int type,matrix a=matrix(),matrix b=matrix()){
53 matrix ans;
54 if (type==1){
55 ans.n=ans.m=4;
56 for(int i=0;i<4;i++)ans.a[i][i]=a.a[i][0];
57 }
58 if (type==2){
59 ans.n=ans.m=2;
60 ans.a[0][0]=a.a[0][0]+b.a[0][0];
61 ans.a[0][1]=a.a[2][0]+b.a[0][0];
62 ans.a[1][0]=a.a[1][0]+b.a[1][0];
63 ans.a[1][1]=a.a[3][0]+b.a[1][0];
64 }
65 if (type==3){
66 ans.n=2,ans.m=4;
67 ans.a[0][0]=a.a[0][0]+b.a[0][0];
68 ans.a[0][2]=a.a[1][0]+b.a[0][0];
69 ans.a[1][1]=a.a[0][0]+b.a[1][0];
70 ans.a[1][3]=a.a[1][0]+b.a[1][0];
71 }
72 if (type==4){
73 ans.n=ans.m=2;
74 ans.a[0][0]=max(a.a[0][0]+b.a[0][0],a.a[1][0]+b.a[2][0]);
75 ans.a[1][1]=max(a.a[0][0]+b.a[1][0],a.a[1][0]+b.a[3][0]);
76 }
77 if (type==5){
78 ans.n=ans.m=4;
79 ans.a[0][0]=ans.a[2][1]=a.a[0][0]+b.a[0][0];
80 ans.a[0][2]=ans.a[2][3]=a.a[1][0]+b.a[2][0];
81 ans.a[1][0]=ans.a[3][1]=a.a[0][0]+b.a[1][0];
82 ans.a[1][2]=ans.a[3][3]=a.a[1][0]+b.a[3][0];
83 }
84 if (type==6){
85 ans.n=4,ans.m=2;
86 ans.a[0][0]=a.a[0][0]+b.a[0][0];
87 ans.a[0][1]=a.a[2][0]+b.a[2][0];
88 ans.a[1][0]=a.a[0][0]+b.a[1][0];
89 ans.a[1][1]=a.a[2][0]+b.a[3][0];
90 ans.a[2][0]=a.a[1][0]+b.a[0][0];
91 ans.a[2][1]=a.a[3][0]+b.a[2][0];
92 ans.a[3][0]=a.a[1][0]+b.a[1][0];
93 ans.a[3][1]=a.a[3][0]+b.a[3][0];
94 }
95 if (type==7){
96 ans.n=ans.m=4;
97 ans.a[0][0]=ans.a[1][1]=a.a[0][0]+b.a[0][0];
98 ans.a[0][2]=ans.a[1][3]=a.a[2][0]+b.a[1][0];
99 ans.a[2][0]=ans.a[3][1]=a.a[1][0]+b.a[0][0];
100 ans.a[2][2]=ans.a[3][3]=a.a[3][0]+b.a[1][0];
101 }
102 if (type==8){
103 ans.n=ans.m=4;
104 ans.a[0][0]=ans.a[1][2]=ans.a[2][1]=ans.a[3][3]=0;
105 }
106 return ans;
107 }
108 namespace Graph{
109 int vis[M],f[M];
110 queue<int>q;
111 set<int>S[N];
112 map<int,int>mat[N];
113 void add(int x,int y,int z);
114 void del(int x,int y){
115 mat[x][y]=0,S[x].erase(y),S[y].erase(x);
116 }
117 void Multi(int x,int y,int z){
118 int k=mat[x][y];
119 del(x,y);
120 trans[k]=get(1,w[z]),trans[z]=get(1,w[k]);
121 w[++V]=mul(trans[k],w[k]);
122 op[V]=1,v[V][0]=k,v[V][1]=z;
123 add(x,y,V);
124 }
125 void One(int x,int y){
126 int k=mat[x][y];
127 del(x,y);
128 trans[f[x]]=get(2,w[k],w[f[y]]);
129 trans[k]=get(3,w[f[x]],w[f[y]]);
130 trans[f[y]]=get(4,w[f[x]],w[k]);
131 w[++V]=mul(trans[k],w[k]);
132 op[V]=2,v[V][0]=f[x],v[V][1]=k,v[V][2]=f[y];
133 f[y]=V;
134 if (S[y].size()<=2)q.push(y);
135 }
136 void Two(int k,int x,int y){
137 int xx=mat[k][x],yy=mat[k][y];
138 del(k,x),del(k,y);
139 trans[xx]=get(5,w[f[k]],w[yy]);
140 trans[f[k]]=get(6,w[xx],w[yy]);
141 trans[yy]=get(7,w[xx],w[f[k]]);
142 w[++V]=mul(trans[f[k]],w[f[k]]);
143 op[V]=3,v[V][0]=xx,v[V][1]=f[k],v[V][2]=yy;
144 add(x,y,V);
145 }
146 void Rev(int x,int y){
147 int k=mat[x][y];
148 mat[x][y]=0,S[x].erase(y),S[y].erase(x);
149 trans[k]=get(8);
150 w[++V]=mul(trans[k],w[k]);
151 op[V]=4,v[V][0]=k;
152 add(y,x,V);
153 }
154 void add(int x,int y,int z){
155 if (mat[y][x])Rev(y,x);
156 if (mat[x][y]){
157 Multi(x,y,z);
158 return;
159 }
160 mat[x][y]=z,S[x].insert(y),S[y].insert(x);
161 if (S[x].size()<=2)q.push(x);
162 if (S[y].size()<=2)q.push(y);
163 }
164 void build(){
165 while (!q.empty())q.pop();
166 for(int i=1;i<=n;i++){
167 f[i]=i;
168 if (S[i].size()<=2)q.push(i);
169 }
170 while (!q.empty()){
171 int k=q.front();
172 q.pop();
173 if ((vis[k])||(!S[k].size()))continue;
174 vis[k]=1;
175 if (S[k].size()==1){
176 int x=(*S[k].begin());
177 if (mat[x][k])Rev(x,k);
178 One(k,x);
179 }
180 else{
181 int x=(*S[k].begin()),y=(*++S[k].begin());
182 if (mat[x][k])Rev(x,k);
183 if (mat[y][k])Rev(y,k);
184 Two(k,x,y);
185 }
186 }
187 }
188 };
189 namespace Tree{
190 int son[5]={0,2,3,3,1},fa[M],sz[M],mx[M],dfn[M],top[M],tail[M];
191 matrix f[M<<2];
192 void update(int k,int l,int r,int x,matrix y){
193 if (l==r){
194 f[k]=y;
195 return;
196 }
197 if (x<=mid)update(L,l,mid,x,y);
198 else update(R,mid+1,r,x,y);
199 f[k]=mul(f[L],f[R]);
200 }
201 matrix query(int k,int l,int r,int x,int y){
202 if ((x<=l)&&(r<=y))return f[k];
203 if (y<=mid)return query(L,l,mid,x,y);
204 if (x>mid)return query(R,mid+1,r,x,y);
205 return mul(query(L,l,mid,x,y),query(R,mid+1,r,x,y));
206 }
207 void dfs1(int k,int f){
208 fa[k]=f,sz[k]=1;
209 for(int i=0;i<son[op[k]];i++){
210 dfs1(v[k][i],k);
211 sz[k]+=sz[v[k][i]];
212 if (sz[v[k][i]]>sz[mx[k]])mx[k]=v[k][i];
213 }
214 }
215 void dfs2(int k,int f,int t){
216 dfn[k]=++dfn[0],top[k]=t;
217 if (f)update(1,1,V,dfn[k],trans[k]);
218 if (!mx[k])tail[k]=k;
219 else{
220 dfs2(mx[k],k,t);
221 tail[k]=tail[mx[k]];
222 }
223 for(int i=0;i<son[op[k]];i++)
224 if (v[k][i]!=mx[k])dfs2(v[k][i],k,v[k][i]);
225 }
226 void build(){
227 dfs1(V,0);
228 dfs2(V,0,V);
229 }
230 void update(int k){
231 while (1){
232 k=top[k];
233 if (k!=tail[k])w[k]=mul(query(1,1,V,dfn[k]+1,dfn[tail[k]]),w[tail[k]]);
234 if (k==V)return;
235 k=fa[k];
236 if (op[k]==1)trans[mx[k]]=get(1,w[v[k][0]+v[k][1]-mx[k]]);
237 else{
238 int p=(op[k]-2)*3;
239 if (mx[k]==v[k][0])trans[mx[k]]=get(2+p,w[v[k][1]],w[v[k][2]]);
240 if (mx[k]==v[k][1])trans[mx[k]]=get(3+p,w[v[k][0]],w[v[k][2]]);
241 if (mx[k]==v[k][2])trans[mx[k]]=get(4+p,w[v[k][0]],w[v[k][1]]);
242 }
243 update(1,1,V,dfn[mx[k]],trans[mx[k]]);
244 }
245 }
246 ll query(){
247 return max(w[V].a[0][0],w[V].a[1][0]);
248 }
249 };
250 int main(){
251 n=read(),m=read(),V=n+m;
252 for(int i=1;i<=n;i++){
253 w[i].n=2,w[i].m=1;
254 for(int j=0;j<2;j++)w[i].a[j][0]=read();
255 }
256 for(int i=n+1;i<=n+m;i++){
257 x=read(),y=read();
258 w[i].n=4,w[i].m=1;
259 for(int j=0;j<2;j++)w[i].a[j][0]=w[i].a[3-j][0]=read();
260 Graph::add(x,y,i);
261 }
262 Graph::build();
263 Tree::build();
264 write(Tree::query(),'\n');
265 q=read();
266 for(int i=1;i<=q;i++){
267 x=read();
268 for(int j=0;j<2;j++)w[x].a[j][0]=read();
269 if (x>n){
270 w[x].a[2][0]=w[x].a[1][0];
271 w[x].a[3][0]=w[x].a[0][0];
272 }
273 Tree::update(x);
274 write(Tree::query(),'\n');
275 }
276 return 0;
277 }
下面，给出每种运算的构造以及每 一个参与运算的变量需要左乘的矩阵（依次给出），以供参考
$$
\left[\begin{matrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\\d_{1}\end{matrix}\right]\oplus \left[\begin{matrix}a_{2}\\b_{2}\\c_{2}\\d_{2}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}a_{1}+a_{2}\\b_{1}+b_{2}\\c_{1}+c_{2}\\d_{1}+d_{2}\end{matrix}\right]\\\left[\begin{matrix}a_{2}&-\infty&-\infty&-\infty\\-\infty&b_{2}&-\infty&-\infty\\-\infty&-\infty&c_{2}&-\infty\\-\infty&-\infty&-\infty&d_{2}\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}a_{1}&-\infty&-\infty&-\infty\\-\infty&b_{1}&-\infty&-\infty\\-\infty&-\infty&c_{1}&-\infty\\-\infty&-\infty&-\infty&d_{1}\end{matrix}\right]
$$
$$
\odot\left(\left[\begin{matrix}a_{1}\\b_{1}\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}a_{2}\\b_{2}\\c_{2}\\d_{2}\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}a_{3}\\b_{3}\end{matrix}\right]\right)=\left[\begin{matrix}\max(a_{1}+a_{2},b_{1}+c_{2})+a_{3}\\\max(a_{1}+b_{2},b_{1}+d_{2})+b_{3}\end{matrix}\right]\\\left[\begin{matrix}a_{2}+a_{3}&c_{2}+a_{3}\\b_{2}+b_{3}&d_{2}+b_{3}\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}a_{1}+a_{3}&-\infty&b_{1}+a_{3}&-\infty\\-\infty&a_{1}+b_{3}&-\infty&b_{1}+b_{3}\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}\max(a_{1}+a_{2},b_{1}+c_{2})&-\infty\\-\infty&\max(a_{1}+b_{2},b_{1}+d_{2})\end{matrix}\right]
$$
$$
\otimes\left(\left[\begin{matrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\\d_{1}\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}a_{2}\\b_{2}\end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}a_{3}\\b_{3}\\c_{3}\\d_{3}\end{matrix}\right]\right)=\left[\begin{matrix}\max(a_{1}+a_{2}+a_{3},c_{1}+b_{2}+c_{3})\\\max(a_{1}+a_{2}+b_{3},c_{1}+b_{2}+d_{3})\\\max(b_{1}+a_{2}+a_{3},d_{1}+b_{2}+c_{3})\\\max(b_{1}+a_{2}+b_{3},d_{1}+b_{2}+d_{3})\end{matrix}\right]\\\left[\begin{matrix}a_{2}+a_{3}&-\infty&b_{2}+c_{3}&-\infty\\a_{2}+b_{3}&-\infty&b_{2}+d_{3}&-\infty\\-\infty&a_{2}+a_{3}&-\infty&b_{2}+c_{3}\\-\infty&a_{2}+b_{3}&-\infty&b_{2}+d_{3}\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}a_{1}+a_{3}&c_{1}+c_{3}\\a_{1}+b_{3}&c_{1}+d_{3}\\b_{1}+a_{3}&d_{1}+c_{3}\\b_{1}+b_{3}&d_{1}+d_{3}\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}a_{1}+a_{2}&-\infty&c_{1}+b_{2}&-\infty\\-\infty&a_{1}+a_{2}&-\infty&c_{1}+b_{2}\\b_{1}+a_{2}&-\infty&d_{1}+b_{2}&-\infty\\-\infty&b_{1}+a_{2}&-\infty&d_{1}+b_{2}\end{matrix}\right]
$$
$$
R\left(\left[\begin{matrix}a\\b\\c\\d\end{matrix}\right]\right)=\left[\begin{matrix}a\\c\\b\\d\end{matrix}\right]\\\left[\begin{matrix}0&-\infty&-\infty&-\infty\\-\infty&-\infty&0&-\infty\\-\infty&0&-\infty&-\infty\\-\infty&-\infty&-\infty&0\end{matrix}\right]
$$
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