[BZOJ3309]DZY Loves Math(莫比乌斯反演+线性筛)
$\sum\limits_{T=1}^{n}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\sum\limits_{d|T}f(d)\mu(\frac{T}{d})$
求出$g(n)=\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac{n}{d})$的前缀和,分块加速。
考虑怎么快速求g。观察什么时候d能对答案产生贡献,显然当且仅当:对于n的每个质因子,d包含这个质因子的次幂数至多比n包含这个质因子的次幂数少1,否则n/d就会包含平方因子。
接下来分两种情况考虑(显然若n只包含一个质因子则g(n)=1):
1) n中存在两个质因子次数不同。
那么考虑所有次数的最大值,设为k。当我们确定n中次数为k的那些因子的选取情况时(这里选取是指是否d包含这个因子的次数比n少1),剩下的数若选取个数为奇数则$\mu$为-1否则为1。考虑到组合数的性质,n个数中选取奇数个的方案数与选取偶数个相同,所以这种情况整个的贡献为0。
2) n中所有质因子次数相同
与上面不同的是,这里已经不存在次数小于k的因子了。那么,这些质因子的选取情况与$\mu$的乘积同样由于上面那个组合数的性质,使和为0。但有一个数不同,就是当d包含的所有因子的次数都比n少1时,f(d)为k-1而不是k。综上这部分的g(n)=(-1)^(质因子个数+1)。
考虑线性筛求g。分别记录每个数最小因子的次数,最小因子的乘积,转移显然。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
typedef long long ll;
using namespace std; const int N=;
int T,n,m,tot,b[N],p[N];
ll g[N],f[N],h[N]; void init(int n){
rep(i,,n){
if (!b[i]) p[++tot]=i,h[i]=,f[i]=i,g[i]=;
for (int j=; j<=tot && p[j]*i<=n; j++){
int t=p[j]*i; b[t]=;
if (i%p[j]==){
h[t]=h[i]+; f[t]=f[i]*p[j];
int s=t/f[t];
if (s==) g[t]=; else g[t]=(h[s]==h[t]) ? -g[s] : ;
}else h[t]=,f[t]=p[j],g[t]=(h[i]==) ? -g[i] : ;
}
}
rep(i,,n) g[i]+=g[i-];
} ll solve(){
if (n>m) swap(n,m); ll res=;
for (int i=,lst; i<=n; i=lst+)
lst=min(n/(n/i),m/(m/i)),res+=1ll*(n/i)*(m/i)*(g[lst]-g[i-]);
return res;
} int main(){
freopen("bzoj3309.in","r",stdin);
freopen("bzoj3309.out","w",stdout);
init();
for (scanf("%d",&T); T--; )
scanf("%d%d",&n,&m),printf("%lld\n",solve());
return ;
}
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