FHJ学长的心愿 QDUOJ 数论
FHJ学长的心愿
题意
给你一个数N,让你求在$$C^{0}{n} \ C{1}_{n} C{2}{n}\ \dots \ C^{n}_{n}$$中有几个组合数是奇数。
解题思路
出题人CX学长给的题解:
本题实际上是考察的Lucas定理。
Lucas定理:(写程序的时候后半部分可以递归求)
设\(P\)为素数,则:
\]
一句话概括,就是一个组合数可以拆成\(P\)进制下的乘积,如下:(与上式本质相同)
\]
\]
则(上式实际上也就是把\(n,m\)分解成了\(P\)进制的形式):
\]
当\(P = 2\)的时候,其实就只有四种情况:\(,,,,,C_1^0, C_0^1, C_0^0, C_1^1\),其中只有\(C_0^1 =0\),其余都是1。
那么对于这个题,我们实际上要找的就是在\(C_n^0...C_n^n\)中有多少个 \(C_n^m\)满足\(C_n^m\%2=1\)。
对于给定的\(n\),我们去考虑\(m\),如果对应\(n\)的二进制位为0,那么\(m\)对应的二进制位只能为0(因为\(C_0^1 =0\)),如果对应\(n\)的二进制位为1,那么\(m\)对应的二进制位可以为1也可以为0。(这样也保证了统计的\(m\leq n\))。
所以答案就是n的二进制中1的位置取0或1的所有可能。即\(2^{cnt}\),\(cnt\)为\(n\)的二进制中1的个数。
这个题有人竟然通过找规律找出来的,真强。
代码实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int n;
while (scanf("%d", &n) != EOF) {
int cnt = 0;
while (n) {
if (n & 1) cnt++;
n >>= 1;
}
printf("%d\n", 1 << cnt);
}
return 0;
}
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