B树算法与实现 （C语言实现）
B树的定义
假设B树的度为t（t>=2），则B树满足如下要求：（参考算法导论）
（1） 每个非根节点至少包含t-1个关键字，t个指向子节点的指针；至多包含2t-1个关键字，2t个指向子女的指针（叶子节点的子女为空）。
（2） 节点的所有key按非降序存放，假设节点的关键字分别为K[1], K[2] … K[n], 指向子女的指针分别为P[1], P[2]…P[n+1]，其中n为节点关键字的个数。则有：
P[1] <= K[1] <= P[2] <= K[2] …..<= K[n] <= P[n+1] // 这里P[n]也指其指向的关键字
（3） 若根节点非空，则根节点至少包含两个子女；
（4） 所有的叶子节点都在同一层。
B树的搜索，search（root, target）
从root出发，对每个节点，找到大于或等于target关键字中最小的K[i]，如果K[i]与target相等，则查找成功；否则在P[i]中递归搜索target，直到到达叶子节点，如仍未找到则说明关键字不在B树中，查找失败。
B树的插入，insert(root, target)
B树的插入需要沿着搜索的路径从root一直到叶节点，根据B树的规则，每个节点的关键字个数在[t-1, 2t-1]之间，故当target要加入到某个叶子时，如果该叶子节点已经有2t-1个关键字，则再加入target就违反了B树的定义，这时就需要对该叶子节点进行分裂，将叶子以中间节点为界，分成两个包含t-1个关键字的子节点，同时把中间节点提升到该叶子的父节点中，如果这样使得父节点的关键字个数超过2t-1，则要继续向上分裂，直到根节点，根节点的分裂会使得树加高一层。
上面的过程需要回溯，那么能否从根下降到叶节点后不回溯就能完成节点的插入呢？答案是肯定的，核心思想就是未雨绸缪，在下降的过程中，一旦遇到已满的节点（关键字个数为2t-1），就就对该节点进行分裂，这样就保证在叶子节点需要分裂时，其父节点一定是非满的，从而不需要再向上回溯。
B树的删除，delete(root, target)
在删除B树节点时，为了避免回溯，当遇到需要合并的节点时就立即执行合并，B树的删除算法如下：从root向叶子节点按照search规律遍历：
（1） 如果target在叶节点x中，则直接从x中删除target，情况（2）和（3）会保证当再叶子节点找到target时，肯定能借节点或合并成功而不会引起父节点的关键字个数少于t-1。
（2） 如果target在分支节点x中：
（a） 如果x的左分支节点y至少包含t个关键字，则找出y的最右的关键字prev，并替换target，并在y中递归删除prev。
（b） 如果x的右分支节点z至少包含t个关键字，则找出z的最左的关键字next，并替换target，并在z中递归删除next。
（c） 否则，如果y和z都只有t-1个关键字，则将targe与z合并到y中，使得y有2t-1个关键字，再从y中递归删除target。
（3） 如果关键字不在分支节点x中，则必然在x的某个分支节点p[i]中，如果p[i]节点只有t-1个关键字。
（a） 如果p[i-1]拥有至少t个关键字，则将x的某个关键字降至p[i]中，将p[i-1]的最大节点上升至x中。
（b） 如果p[i+1]拥有至少t个关键字，则将x个某个关键字降至p[i]中，将p[i+1]的最小关键字上升至x个。
（c） 如果p[i-1]与p[i+1]都拥有t-1个关键字，则将p[i]与其中一个兄弟合并，将x的一个关键字降至合并的节点中，成为中间关键字。
btree.c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/**
* @brief the degree of btree
* key per node: [M-1, 2M-1]
* child per node: [M, 2M]
*/
#define M 2
typedef struct btree_node {
*M-];
*M];
int num;
bool is_leaf;
} btree_node;
/**
* @brief allocate a new btree node
* default: is_leaf == true
*
* @return pointer of new node
*/
btree_node *btree_node_new();
/**
* @brief create a btree root
*
* @return pointer of btree root
*/
btree_node *btree_create();
/**
* @brief split child if num of key in child exceed 2M-1
*
* @param parent: parent of child
* @param pos: p[pos] points to child
* @param child: the node to be splited
*
* @return
*/
int btree_split_child(btree_node *parent, int pos, btree_node *child);
/**
* @brief insert a value into btree
* the num of key in node less than 2M-1
*
* @param node: tree root
* @param target: target to insert
*/
void btree_insert_nonfull(btree_node *node, int target);
/**
* @brief insert a value into btree
*
* @param root: tree root
* @param target: target to insert
*
* @return: new root of tree
*/
btree_node* btree_insert(btree_node *root, int target);
/**
* @brief merge y, z and root->k[pos] to left
* this appens while y and z both have M-1 keys
*
* @param root: parent node
* @param pos: postion of y
* @param y: left node to merge
* @param z: right node to merge
*/
void btree_merge_child(btree_node *root, int pos, btree_node *y, btree_node *z);
/**
* @brief delete a vlue from btree
*
* @param root: btree root
* @param target: target to delete
*
* @return: new root of tree
*/
btree_node *btree_delete(btree_node *root, int target);
/**
* @brief delete a vlue from btree
* root has at least M keys
*
* @param root: btree root
* @param target: target to delete
*
* @return
*/
void btree_delete_nonone(btree_node *root, int target);
/**
* @brief find the rightmost value
*
* @param root: root of tree
*
* @return: the rightmost value
*/
int btree_search_predecessor(btree_node *root);
/**
* @brief find the leftmost value
*
* @param root: root of tree
*
* @return: the leftmost value
*/
int btree_search_successor(btree_node *root);
/**
* @brief shift a value from z to y
*
* @param root: btree root
* @param pos: position of y
* @param y: left node
* @param z: right node
*/
void btree_shift_to_left_child(btree_node *root, int pos, btree_node *y, btree_node *z);
/**
* @brief shift a value from z to y
*
* @param root: btree root
* @param pos: position of y
* @param y: left node
* @param z: right node
*/
void btree_shift_to_right_child(btree_node *root, int pos, btree_node *y, btree_node *z);
/**
* @brief inorder traverse the btree
*
* @param root: root of treee
*/
void btree_inorder_print(btree_node *root);
/**
* @brief level print the btree
*
* @param root: root of tree
*/
void btree_level_display(btree_node *root);
btree_node *btree_node_new()
{
btree_node *node = (btree_node *)malloc(sizeof(btree_node));
if(NULL == node) {
return NULL;
}
; i < * M -; i++) {
node->k[i] = ;
}
; i < * M; i++) {
node->p[i] = NULL;
}
node->num = ;
node->is_leaf = true;
}
btree_node *btree_create()
{
btree_node *node = btree_node_new();
if(NULL == node) {
return NULL;
}
return node;
}
int btree_split_child(btree_node *parent, int pos, btree_node *child)
{
btree_node *new_child = btree_node_new();
if(NULL == new_child) {
;
}
new_child->is_leaf = child->is_leaf;
new_child->num = M - ;
; i < M - ; i++) {
new_child->k[i] = child->k[i+M];
}
if(false == new_child->is_leaf) {
; i < M; i++) {
new_child->p[i] = child->p[i+M];
}
}
child->num = M - ;
for(int i = parent->num; i > pos; i--) {
parent->p[i+] = parent->p[i];
}
parent->p[pos+] = new_child;
; i >= pos; i--) {
parent->k[i+] = parent->k[i];
}
parent->k[pos] = child->k[M-];
parent->num += ;
}
void btree_insert_nonfull(btree_node *node, int target)
{
== node->is_leaf) {
int pos = node->num;
&& target < node->k[pos-]) {
node->k[pos] = node->k[pos-];
pos--;
}
node->k[pos] = target;
node->num += ;
} else {
int pos = node->num;
&& target < node->k[pos-]) {
pos--;
}
* M - == node->p[pos]->num) {
btree_split_child(node, pos, node->p[pos]);
if(target > node->k[pos]) {
pos++;
}
}
btree_insert_nonfull(node->p[pos], target);
}
}
btree_node* btree_insert(btree_node *root, int target)
{
if(NULL == root) {
return NULL;
}
* M - == root->num) {
btree_node *node = btree_node_new();
if(NULL == node) {
return root;
}
node->is_leaf = ;
node->p[] = root;
btree_split_child(node, , root);
btree_insert_nonfull(node, target);
return node;
} else {
btree_insert_nonfull(root, target);
return root;
}
}
void btree_merge_child(btree_node *root, int pos, btree_node *y, btree_node *z)
{
y->num = * M - ;
* M - ; i++) {
y->k[i] = z->k[i-M];
}
y->k[M-] = root->k[pos];
if(false == z->is_leaf) {
* M; i++) {
y->p[i] = z->p[i-M];
}
}
; j < root->num; j++) {
root->k[j-] = root->k[j];
root->p[j] = root->p[j+];
}
root->num -= ;
free(z);
}
btree_node *btree_delete(btree_node *root, int target)
{
== root->num) {
btree_node *y = root->p[];
btree_node *z = root->p[];
if(NULL != y && NULL != z &&
M - == y->num && M - == z->num) {
btree_merge_child(root, , y, z);
free(root);
btree_delete_nonone(y, target);
return y;
} else {
btree_delete_nonone(root, target);
return root;
}
} else {
btree_delete_nonone(root, target);
return root;
}
}
void btree_delete_nonone(btree_node *root, int target)
{
if(true == root->is_leaf) {
;
while(i < root->num && target > root->k[i]) i++;
if(target == root->k[i]) {
; j < * M - ; j++) {
root->k[j-] = root->k[j];
}
root->num -= ;
} else {
printf("target not found\n");
}
} else {
;
btree_node *y = NULL, *z = NULL;
while(i < root->num && target > root->k[i]) i++;
if(i < root->num && target == root->k[i]) {
y = root->p[i];
z = root->p[i+];
) {
int pre = btree_search_predecessor(y);
root->k[i] = pre;
btree_delete_nonone(y, pre);
} ) {
int next = btree_search_successor(z);
root->k[i] = next;
btree_delete_nonone(z, next);
} else {
btree_merge_child(root, i, y, z);
btree_delete(y, target);
}
} else {
y = root->p[i];
if(i < root->num) {
z = root->p[i+];
}
btree_node *p = NULL;
) {
p = root->p[i-];
}
) {
&& p->num > M - ) {
btree_shift_to_right_child(root, i-, p, y);
} ) {
btree_shift_to_left_child(root, i, y, z);
} ) {
btree_merge_child(root, i-, p, y); // note
y = p;
} else {
btree_merge_child(root, i, y, z);
}
btree_delete_nonone(y, target);
} else {
btree_delete_nonone(y, target);
}
}
}
}
int btree_search_predecessor(btree_node *root)
{
btree_node *y = root;
while(false == y->is_leaf) {
y = y->p[y->num];
}
];
}
int btree_search_successor(btree_node *root)
{
btree_node *z = root;
while(false == z->is_leaf) {
z = z->p[];
}
];
}
void btree_shift_to_right_child(btree_node *root, int pos,
btree_node *y, btree_node *z)
{
z->num += ;
; i > ; i--) {
z->k[i] = z->k[i-];
}
z->k[]= root->k[pos];
root->k[pos] = y->k[y->num-];
if(false == z->is_leaf) {
; i--) {
z->p[i] = z->p[i-];
}
z->p[] = y->p[y->num];
}
y->num -= ;
}
void btree_shift_to_left_child(btree_node *root, int pos,
btree_node *y, btree_node *z)
{
y->num += ;
y->k[y->num-] = root->k[pos];
root->k[pos] = z->k[];
; j < z->num; j++) {
z->k[j-] = z->k[j];
}
if(false == z->is_leaf) {
y->p[y->num] = z->p[];
; j <= z->num; j++) {
z->p[j-] = z->p[j];
}
}
z->num -= ;
}
void btree_inorder_print(btree_node *root)
{
if(NULL != root) {
btree_inorder_print(root->p[]);
; i < root->num; i++) {
printf("%d ", root->k[i]);
btree_inorder_print(root->p[i+]);
}
}
}
void btree_level_display(btree_node *root)
{
// just for simplicty, can't exceed 200 nodes in the tree
btree_node *queue[] = {NULL};
;
;
queue[rear++] = root;
while(front < rear) {
btree_node *node = queue[front++];
printf("[");
; i < node->num; i++) {
printf("%d ", node->k[i]);
}
printf("]");
; i <= node->num; i++) {
if(NULL != node->p[i]) {
queue[rear++] = node->p[i];
}
}
}
printf("\n");
}
int main()
{
, , , , , , , , , , , , };
btree_node *root = btree_create();
; i < sizeof(arr) / sizeof(int); i++) {
root = btree_insert(root, arr[i]);
btree_level_display(root);
}
//int todel[] = {15, 18, 23, 30, 31, 52, 50};
};
; i < sizeof(todel) / sizeof(int); i++) {
printf("after delete %d\n", todel[i]);
root = btree_delete(root, todel[i]);
btree_level_display(root);
}
;
}
B+树
与B树不同的时，B+树的关键字都存储在叶子节点，分支节点均为索引，在实现上大致与B树类似，在几个细节稍有不同。
（1） 数据结构中增加prev，next指针，用于将叶子节点串成有序双向链表。
（2） 在节点分裂的时候，如果分裂的节点为叶子，则需要把中间节点保留在左(或右)边的分支上，并且需要更新prev和next。
（3） 在节点合的时候，如果合并的节点为叶子，不需要把跟节点下降为中间节点，并且需要更新prev和next。
（4） 在向邻接节点借节点时，借来的关键字并不是父节点的关键字，而是邻接点的关键字，并根据实际情况更新父节点的索引。
bplustree.c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/**
* @brief the degree of btree
* key per node: [M-1, 2M-1]
* child per node: [M, 2M]
*/
#define M 2 // the degree of btree
typedef struct btree_node {
*M-];
*M];
int num;
bool is_leaf;
struct btree_node *prev; // use one struct just for simple
struct btree_node *next;
} btree_node;
/**
* @brief allocate a new btree node
* default: is_leaf == true
*
* @return pointer of new node
*/
btree_node *btree_node_new();
/**
* @brief create a btree root
*
* @return pointer of btree root
*/
btree_node *btree_create();
/**
* @brief split child if num of key in child exceed 2M-1
*
* @param parent: parent of child
* @param pos: p[pos] points to child
* @param child: the node to be splited
*
* @return
*/
int btree_split_child(btree_node *parent, int pos, btree_node *child);
/**
* @brief insert a value into btree
* the num of key in node less than 2M-1
*
* @param node: tree root
* @param target: target to insert
*/
void btree_insert_nonfull(btree_node *node, int target);
/**
* @brief insert a value into btree
*
* @param root: tree root
* @param target: target to insert
*
* @return: new root of tree
*/
btree_node* btree_insert(btree_node *root, int target);
/**
* @brief merge y, z and root->k[pos] to left
* this appens while y and z both have M-1 keys
*
* @param root: parent node
* @param pos: postion of y
* @param y: left node to merge
* @param z: right node to merge
*/
void btree_merge_child(btree_node *root, int pos, btree_node *y, btree_node *z);
/**
* @brief delete a vlue from btree
*
* @param root: btree root
* @param target: target to delete
*
* @return: new root of tree
*/
btree_node *btree_delete(btree_node *root, int target);
/**
* @brief delete a vlue from btree
* root has at least M keys
*
* @param root: btree root
* @param target: target to delete
*
* @return
*/
void btree_delete_nonone(btree_node *root, int target);
/**
* @brief find the rightmost value
*
* @param root: root of tree
*
* @return: the rightmost value
*/
int btree_search_predecessor(btree_node *root);
/**
* @brief find the leftmost value
*
* @param root: root of tree
*
* @return: the leftmost value
*/
int btree_search_successor(btree_node *root);
/**
* @brief shift a value from z to y
*
* @param root: btree root
* @param pos: position of y
* @param y: left node
* @param z: right node
*/
void btree_shift_to_left_child(btree_node *root, int pos, btree_node *y, btree_node *z);
/**
* @brief shift a value from z to y
*
* @param root: btree root
* @param pos: position of y
* @param y: left node
* @param z: right node
*/
void btree_shift_to_right_child(btree_node *root, int pos, btree_node *y, btree_node *z);
/**
* @brief inorder traverse the btree
*
* @param root: root of treee
*/
void btree_inorder_print(btree_node *root);
/**
* @brief print tree linearly using prev/next pointer
*
* @param root: root of tree
*/
void btree_linear_print(btree_node *root);
/**
* @brief level print the btree
*
* @param root: root of tree
*/
void btree_level_display(btree_node *root);
btree_node *btree_node_new()
{
btree_node *node = (btree_node *)malloc(sizeof(btree_node));
if(NULL == node) {
return NULL;
}
; i < * M -; i++) {
node->k[i] = ;
}
; i < * M; i++) {
node->p[i] = NULL;
}
node->num = ;
node->is_leaf = true;
node->prev = NULL;
node->next = NULL;
}
btree_node *btree_create()
{
btree_node *node = btree_node_new();
if(NULL == node) {
return NULL;
}
node->next = node;
node->prev = node;
return node;
}
int btree_split_child(btree_node *parent, int pos, btree_node *child)
{
btree_node *new_child = btree_node_new();
if(NULL == new_child) {
;
}
new_child->is_leaf = child->is_leaf;
new_child->num = M - ;
; i < M - ; i++) {
new_child->k[i] = child->k[i+M];
}
if(false == new_child->is_leaf) {
; i < M; i++) {
new_child->p[i] = child->p[i+M];
}
}
child->num = M - ;
if(true == child->is_leaf) {
child->num++; // if leaf, keep the middle ele, put it in the left
}
for(int i = parent->num; i > pos; i--) {
parent->p[i+] = parent->p[i];
}
parent->p[pos+] = new_child;
; i >= pos; i--) {
parent->k[i+] = parent->k[i];
}
parent->k[pos] = child->k[M-];
parent->num += ;
// update link
if(true == child->is_leaf) {
new_child->next = child->next;
child->next->prev = new_child;
new_child->prev = child;
child->next = new_child;
}
}
void btree_insert_nonfull(btree_node *node, int target)
{
== node->is_leaf) {
int pos = node->num;
&& target < node->k[pos-]) {
node->k[pos] = node->k[pos-];
pos--;
}
node->k[pos] = target;
node->num += ;
} else {
int pos = node->num;
&& target < node->k[pos-]) {
pos--;
}
* M - == node->p[pos]->num) {
btree_split_child(node, pos, node->p[pos]);
if(target > node->k[pos]) {
pos++;
}
}
btree_insert_nonfull(node->p[pos], target);
}
}
btree_node* btree_insert(btree_node *root, int target)
{
if(NULL == root) {
return NULL;
}
* M - == root->num) {
btree_node *node = btree_node_new();
if(NULL == node) {
return root;
}
node->is_leaf = ;
node->p[] = root;
btree_split_child(node, , root);
btree_insert_nonfull(node, target);
return node;
} else {
btree_insert_nonfull(root, target);
return root;
}
}
void btree_merge_child(btree_node *root, int pos, btree_node *y, btree_node *z)
{
if(true == y->is_leaf) {
y->num = * M - ;
* M - ; i++) {
y->k[i-] = z->k[i-M];
}
} else {
y->num = * M - ;
* M - ; i++) {
y->k[i] = z->k[i-M];
}
y->k[M-] = root->k[pos];
* M; i++) {
y->p[i] = z->p[i-M];
}
}
; j < root->num; j++) {
root->k[j-] = root->k[j];
root->p[j] = root->p[j+];
}
root->num -= ;
// update link
if(true == y->is_leaf) {
y->next = z->next;
z->next->prev = y;
}
free(z);
}
btree_node *btree_delete(btree_node *root, int target)
{
== root->num) {
btree_node *y = root->p[];
btree_node *z = root->p[];
if(NULL != y && NULL != z &&
M - == y->num && M - == z->num) {
btree_merge_child(root, , y, z);
free(root);
btree_delete_nonone(y, target);
return y;
} else {
btree_delete_nonone(root, target);
return root;
}
} else {
btree_delete_nonone(root, target);
return root;
}
}
void btree_delete_nonone(btree_node *root, int target)
{
if(true == root->is_leaf) {
;
while(i < root->num && target > root->k[i]) i++;
if(target == root->k[i]) {
; j < * M - ; j++) {
root->k[j-] = root->k[j];
}
root->num -= ;
} else {
printf("target not found\n");
}
} else {
;
btree_node *y = NULL, *z = NULL;
while(i < root->num && target > root->k[i]) i++;
y = root->p[i];
if(i < root->num) {
z = root->p[i+];
}
btree_node *p = NULL;
) {
p = root->p[i-];
}
) {
&& p->num > M - ) {
btree_shift_to_right_child(root, i-, p, y);
} ) {
btree_shift_to_left_child(root, i, y, z);
} ) {
btree_merge_child(root, i-, p, y);
y = p;
} else {
btree_merge_child(root, i, y, z);
}
btree_delete_nonone(y, target);
} else {
btree_delete_nonone(y, target);
}
}
}
int btree_search_predecessor(btree_node *root)
{
btree_node *y = root;
while(false == y->is_leaf) {
y = y->p[y->num];
}
];
}
int btree_search_successor(btree_node *root)
{
btree_node *z = root;
while(false == z->is_leaf) {
z = z->p[];
}
];
}
void btree_shift_to_right_child(btree_node *root, int pos,
btree_node *y, btree_node *z)
{
z->num += ;
if(false == z->is_leaf) {
z->k[] = root->k[pos];
root->k[pos] = y->k[y->num-];
} else {
z->k[] = y->k[y->num-];
root->k[pos] = y->k[y->num-];
}
; i > ; i--) {
z->k[i] = z->k[i-];
}
if(false == z->is_leaf) {
; i--) {
z->p[i] = z->p[i-];
}
z->p[] = y->p[y->num];
}
y->num -= ;
}
void btree_shift_to_left_child(btree_node *root, int pos,
btree_node *y, btree_node *z)
{
y->num += ;
if(false == z->is_leaf) {
y->k[y->num-] = root->k[pos];
root->k[pos] = z->k[];
} else {
y->k[y->num-] = z->k[];
root->k[pos] = z->k[];
}
; j < z->num; j++) {
z->k[j-] = z->k[j];
}
if(false == z->is_leaf) {
y->p[y->num] = z->p[];
; j <= z->num; j++) {
z->p[j-] = z->p[j];
}
}
z->num -= ;
}
void btree_inorder_print(btree_node *root)
{
if(NULL != root) {
btree_inorder_print(root->p[]);
; i < root->num; i++) {
printf("%d ", root->k[i]);
btree_inorder_print(root->p[i+]);
}
}
}
void btree_linear_print(btree_node *root)
{
if(NULL != root) {
btree_node *leftmost = root;
while(false == leftmost->is_leaf) {
leftmost = leftmost->p[];
}
btree_node *iter = leftmost;
do {
; i < iter->num; i++) {
printf("%d ", iter->k[i]);
}
iter = iter->next;
} while(iter != leftmost);
printf("\n");
}
}
void btree_level_display(btree_node *root)
{
// just for simplicty, can't exceed 200 nodes in the tree
btree_node *queue[] = {NULL};
;
;
queue[rear++] = root;
while(front < rear) {
btree_node *node = queue[front++];
printf("[");
; i < node->num; i++) {
printf("%d ", node->k[i]);
}
printf("]");
; i <= node->num; i++) {
if(NULL != node->p[i]) {
queue[rear++] = node->p[i];
}
}
}
printf("\n");
}
int main()
{
, , , , , , , , , , , , };
// int arr[] = {18, 31, 12, 10};
btree_node *root = btree_create();
; i < sizeof(arr) / sizeof(int); i++) {
root = btree_insert(root, arr[i]);
btree_level_display(root);
btree_linear_print(root);
}
//int todel[] = {15, 18, 23, 30, 31, 52, 50};
, , , };
; i < sizeof(todel) / sizeof(int); i++) {
printf("after delete %d\n", todel[i]);
root = btree_delete(root, todel[i]);
btree_level_display(root);
btree_linear_print(root);
}
;
}
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