[BZOJ]1046 上升序列(HAOI2007)
和字典序有关的题型啊。
Description
对于一个给定的S={a1,a2,a3,…,an},若有P={ax1,ax2,ax3,…,axm},满足(x1 < x2 < … < xm)且(ax1 < ax2 < … < axm)。那么就称P为S的一个上升序列。如果有多个P满足条件,那么我们想求字典序最小的那个。任务给出S序列,给出若干询问。对于第i个询问,求出长度为Li的上升序列,如有多个,求出字典序最小的那个(即首先x1最小,如果不唯一,再看x2最小……),如果不存在长度为Li的上升序列,则打印Impossible.
Input
第一行一个N,表示序列一共有N个元素第二行N个数,为a1,a2,…,an 第三行一个M,表示询问次数。下面接M行每行一个数L,表示要询问长度为L的上升序列。
Output
对于每个询问,如果对应的序列存在,则输出,否则打印Impossible。
Sample Input
6
3 4 1 2 3 6
3
6
4
5
Sample Output
Impossible
1 2 3 6
Impossible
HINT
N<=10000,M<=1000。
Solution
看到字典序和上升子序列DP,小C想起了APIO2009的那道convention。
(不要吐槽小C的做题顺序)
既然要取字典序最小的,那肯定就是从小的取起,能取就取。
那什么情况算是能取的呢?
设要取的上升序列长度为len,已经取了x个数,且最后一个数大小为last。
设我们当前要取的数的位置为i,数的大小为a[i],以这个位置开头的最长上升子序列长度为d[i]。
那么如果a[i]>last且d[i]+x>=len那么i这个位置的数就能取,也就是必须取。
我们来分析为什么这两个条件可以决定这个数取不取。
a[i]>last是上升序列的必要条件,我们已经满足了last必须取,且上一个取last一定能构造出答案,所以从字典序最小的角度来说,我们不能用a[i]来替换last。
d[i]+x>=len则是能构造出长度为len的答案的充分条件,因为d[i]满足二分性,如果d[i]>=len-x,那么一定存在一个以a[i]开头长度为len-x的上升序列接在last后面,从字典序最小的角度来说,我们取它显然最优。
剩下就是求d[i]了嘛。求最长上升子序列谁不会啊?
其实是正常的字典序也好,还是这题的逗比字典序也好,用以上的思路都是可以做的。
时间复杂度O(nlogn+n*m)。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#define MN 10005
#define MM 1005
using namespace std;
struct meg{int val,pos;}b[MM];
int f[MN],a[MN],p[MN],lb[MM],ans[MM][MN],t[MN<<];
int nin,n,m,MQ; inline int read()
{
int n=,f=; char c=getchar();
while (c<'' || c>'') {if(c=='-')f=-; c=getchar();}
while (c>='' && c<='') {n=n*+c-''; c=getchar();}
return n*f;
} void dfs(int depth,int x,int L,int R,int ps)
{
register int i,j,dx,mx=L-;
for (i=x;i<=n;++i)
{
if (a[i]<=ps) continue;
dx=lower_bound(lb+,lb+m+,f[i]+depth)-lb-;
if (dx>mx)
{
for (j=mx+;j<=dx;++j) ans[b[j].pos][depth]=a[i],mx=lb[j]==depth?j:mx;
if (dx>mx) {dfs(depth+,i+,mx+,dx,a[i]); mx=dx;}
if (mx==R) break;
}
}
} inline void getad(int x,int z) {for (x+=MQ;x&&z>t[x];x>>=) t[x]=z;}
inline int getmx(int L,int R)
{
if (L>R) return ;
register int lt=;
for (L+=MQ,R+=MQ;L<=R;L>>=,R>>=)
{
if ( L&) lt=max(lt,t[L++]);
if (~R&) lt=max(lt,t[R--]);
}
return lt;
}
bool cmp(const meg& a,const meg& b) {return a.val<b.val;} int main()
{
register int i,j;
n=read();
for (i=;i<=n;++i) a[i]=p[i]=read();
sort(p+,p+n+);
nin=unique(p+,p+n+)-p-;
for (i=;i<=n;++i) a[i]=lower_bound(p+,p+nin+,a[i])-p;
for (MQ=;MQ<nin;MQ<<=); --MQ;
for (i=n;i;--i) f[i]=getmx(a[i]+,nin)+,getad(a[i],f[i]);
m=read();
for (i=;i<=m;++i) b[i].val=read(),b[i].pos=i;
sort(b+,b+m+,cmp);
for (i=;i<=m;++i) lb[i]=b[i].val;
dfs(,,,m,);
for (i=;i<=m;++i)
{
if (!ans[i][]) {puts("Impossible"); continue;}
printf("%d",p[ans[i][]]);
for (j=;ans[i][j];++j) printf(" %d",p[ans[i][j]]); puts("");
}
}
Last Word
不知道为什么突然想把询问排序然后一起做想降低常数,不过常数好像更大了233。
因为看错字典序的缘故,小C的代码画风有点崩坏……(其实本来就很崩)
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