扩展欧几里得

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y,

使它们满足贝祖等式: ax+by = gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理)。

扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

证明

求解 x,y的方法的理解

设 a>b。

1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;

2,a>b>0 时

设 ax1+ by1= gcd(a,b);

bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;

说明: a-[a/b]*b即为mod运算。[a/b]代表取小于a/b的最大整数。

也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.

上面的思想是以递归定义的,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以结束。

代码

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;y=0;
return a;
}
int r=exGcd(b,a%b,x,y);
int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
return r;
}

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