算法训练 K好数 解析

算法训练 K好数

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问题描述

如果一个自然数N的K进制表示中任意的相邻的两位都不是相邻的数字，那么我们就说这个数是K好数。求L位K进制数中K好数的数目。例如K = 4，L = 2的时候，所有K好数为11、13、20、22、30、31、33 共7个。由于这个数目很大，请你输出它对1000000007取模后的值。

输入格式

输入包含两个正整数，K和L。

输出格式

输出一个整数，表示答案对1000000007取模后的值。

样例输入

4 2

样例输出

7

数据规模与约定

对于30%的数据，KL <= 106；

对于50%的数据，K <= 16， L <= 10；

对于100%的数据，1 <= K,L <= 100。

有人说这是数位DP，我信了；

DP策略就是从局部到整体，dp[i][j]代表的是位长为i，并且首位是j时状态的总方案数，那么如何用dp[i-1]推到dp[i]呢？

策略如下：由题意得两个相邻位数其值不想邻，我们只需要剔除这种情况即可；

打个比方：设k=3,l=3 如何表示长度为3的方案数呢？

我们得到下面等式：总方案数由下面相加：dp[3][0],dp[3][1],dp[3][2]

并且：

dp[3][0]=dp[2][2]

dp[3][1]=0

dp[3][2]=dp[2][0]

我们决定长度为3时的首位数，然后剔除相邻的情况，拓展到长度为2的情况；

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
int dp[105][105];
int main() {
    int k,l;
    cin>>k>>l;
    for(int i=0;i<k;i++) {
        dp[1][i]=1;
    }
    for(int i=2;i<=l;i++)
        for(int j=0;j<k;j++)
            for(int m=0;m<k;m++) {
                if(j!=m+1&&j!=m-1) {
                    dp[i][j]+=dp[i-1][m];
                    dp[i][j]%=MOD;
                }
    }
    int sum=0;
    for(int i=1;i<k;i++) {
        sum+=dp[l][i];
        sum%=MOD;
    }
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}