MATLAB信号与系统分析（三）——连续信号与系统的复频域分析及MATLAB实现

一、系统的拉普拉斯变换和反变换

1、MATLAB函数

F=laplace(f)  %求拉氏变换
f=ilaplace(F) %求拉氏反变换

2、例子

clear all;clc;close all
f=sym('exp(-t)*sin(a*t)*heaviside(t)')
F=laplace(f)  %求拉氏变换
F=sym('s^2/(s^2+1)')
f=ilaplace(F) %求拉氏反变换

二、利用部分分式展开求解拉氏反变换（数学表达式）：

1、MATLAB函数

[r,p,k]=residue(num,den)

%r为所得部分分式展开式的系数向量

%p为极点

%k为直流分量

2、例子

%shiyan3_2 用部分分式展开法求解拉氏反变换
clear all;clc;close all
num=[1 2];%分母多项式的系数向量，从高次幂往低次幂排列
den=[1 4 3 0];%分子多项式的系数向量，从高次幂往低次幂排列，不要忘记该补零的补零值
[r,p,k]=residue(num,den); %用esidue函数进行展开%
f=0;
syms t;
for i=1:length(p)
    f=f+r(i)*exp(p(i)*t);
end
f

三、 系统的零极点分布及其稳定性

1、稳定性的条件，系统的极点位于零极点图的左半平面。

2、利用matlab计算h(s)的零极点并分析系统稳定性。

3、画极点的例子

%shiyan3_3 求H(s)=(s-1)/(s^2+2s+2)的零极点及其分布图

%采用roots和plot函数
clear all ; clc; close all;
b=[1,-1];
a=[1 2 2];
zs=roots(b);ps=roots(a);
figure(1)
plot(real(zs),imag(zs),'o',real(ps),imag(ps),'kx','markersize',12);
axis([-2,2,-2,2]);grid on;legend('零点','极点')

%利用pole和zero函数
num=[1,-1];
den=[1,2,2];
H = tf(num,den);%采用tf函数获得LTI系统模型sys
zs=zero(H);ps=pole(H);
figure(2)
plot(real(zs),imag(zs),'o',real(ps),imag(ps),'kx','markersize',12);
axis([-2,2,-2,2]);grid on;legend('零点','极点')

%采用pzmap函数
num=[1,-1];
den=[1,2,2];
H = tf(num,den);%采用tf函数获得LTI系统模型sys
figure(3)
pzmap(H);

%采用tf2zp和zplane函数
A=[1,2,2];
B=[1,-1];
figure(4)
[z,p]=tf2zp(B,A)
zplane(z,p)

4、计算h（s）的零极点并分析系统稳定性

四、系统的零极点分布与系统冲激响应时域特性（P294）

1、例子

clear all;clc;close all;

a=[1,1,16.25];
b=[1];
impulse(b,a,5)

五、连续系统的频率响应

1、MATLAB提供了专门对连续系统频率响应H(jw)进行分析的函数freqs()，该函数可以求出系统频率响应的数值解，并可绘出系统的幅频和相频响应曲线

2、例子：

clear all;clc;close all;

b=[1];
a=[0.08 0.4 1];
[h,w]=freqs(b,a,100)
h1=abs(h);     %求幅频
h2=angle(h);    %求相频
figure(1)
subplot(211);
plot(w,h1);grid,xlabel('角频率(W)');ylabel('幅度');title('H(jw)的幅频特性');
subplot(212);
plot(w,h2*180/pi);grid,xlabel('角频率(w)');ylabel('相位(度)');title('H(jw)的相频特性');
figure(2)
freqs(b,a)

3、由连续系统零极点分布分析系统的频率特性

由连续系统零极点分布求系统的频率特性的步骤：

定义包含系统所有零点＆极点的行向量z＆列向量y

定义绘制系统频率响应曲线的频率起始值f1＆终止值f2、频率取样间隔k（频率的变化步长），并产生频率等分点向量f；

求出系统所有零点＆极点到这些等分点的距离；

l求出系统所有零点＆极点到这些等分点的矢量的相角；

根据（1）式＆（2）式求出f1到f2频率范围内各频率等分点的 ＆ 的值

绘制f1到f2频率范围内的幅频响应＆相频响应曲线

function pz_plxy(f1,f2,k,p,z)

%根据系统零极点分布绘制系统频率响应曲线程序
%f1、f2：绘制频率响应曲线的频率范围（即频率起始和终止点，单位为赫兹）
%p、z：系统函数极点和零点位置行向量
%k：绘制频率响应曲线的频率取样间隔

p=p';   %变成列向量
z=z'; 

f=f1:k:f2;                                    %定义绘制系统频率响应曲线的频率范围
w=f*(2*pi);
y=i*w; %虚数轴上

n=length(p);
m=length(z);

if n==0                                            %如果系统无极点
   yq=ones(m,1)*y;
   vq=yq-z*ones(1,length(w));
   bj=abs(vq);
   bw=angle(vq);
   ai=1;
   aw=0;
elseif m==0                                    %如果系统无零点
   yp=ones(n,1)*y;
   vp=yp-p*ones(1,length(w));
   aw=angle(vp);
   ai=abs(vp);
   bj=1;
   bw=0;
else
   yp=ones(n,1)*y;
   yq=ones(m,1)*y;
   vp=yp-p*ones(1,length(w));
   vq=yq-z*ones(1,length(w));
   ai=abs(vp);
   aw=angle(vp);
   bj=abs(vq);
   bw=angle(vq)
end

figure(1)
Hw=prod(bj,1)./prod(ai,1);
plot(f,Hw);
title('   系统幅频响应曲线')
xlabel(' 频率w（单位：赫兹）')
ylabel('H(jw)')

figure(2)
Anglew=sum(bw,1)-sum(aw,1);
plot(f,Anglew);
title('   系统相频响应曲线')
xlabel(' 频率w（单位：rad）')
ylabel('angle(jw)')