UVA11300 Spreading the Wealth 数学

前方数学警告

题目链接:https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=25&page=show_problem&problem=2275

https://www.luogu.com.cn/problem/UVA11300

分析:

搞了这么久终于碰到一个数学题了，这也是本蒟蒻做的第一个数学题吧，值得纪念。

第一次看见这题的时候，嗯，好像是个暴力。。。然后就打了一个暴力，发现样例过了？但自己造了组数据就有了点问题，我暴力的思路是由于一个人只能给左边或右边，于是把这两种情况都枚举一下，取最小值就好，但有可能跑一遍不能让整个数组都变成我想要的那个值，故我又加了一个bool表示有无把所有数字都变成那个数，这么写肯定T啊。

我:万一数据水呢？

数据:我不水。

所以交上去果断T掉了，我又想验证一下这么写可不可以，找某人代码过来对拍了一下，然后结果是我竟然把一个A掉的代码给拍出了错解？嗯，看来写个暴力还是有收获的，我其实很想把那个代码粘上来的，但它88行有点长我没存不小心弄丢了，来看一下正解吧。

首先我最开始发现的那个性质是没有问题的，即每个人只会被它周围的人影响，一旦他周围的人的转移硬币数确定了，那么这个人的转移硬币数也可求，于是受这一点启发，不妨设\(x_i\)表示第\(i\)个人给第\(i-1\)个人的硬币数，当\(i==1\)时，为给\(n\)的硬币数。由于最后要求所有人金币一样（共产主义），所以最后每个人的金币数量是确定的，即\(M=tot/n\)，也就是说每个人最后都是\(M\)，于是有\(A_i+x_{i+1}-x_i=M\)，就是原来有的加上得到的减去失去的等于最终的，光看这个式子，这啥也看不出来啊，所以继续观察这个式子，发现它跟周围的式子相加会出现一个神奇的结果，我们加一下看看。

\(A_1+x_2-x_1=M\) 1

\(A_2+x_3-x_2=M\) 2

\(A_3+x_4-x_2=M\) 3

1+2得\(A_1+A_2+x_3-x_1=M*2\) -> \(x_3=x_1-(A_1+A_2-M*2)\)

1+2+3得\(x_4=x_1-(A_1+A_2+A_3-M*3)\)

………………

不难归纳得出\(x_n=x_1-\)\(\sum_{i=1}^n(A_{i-1}+(i-1)*M\)\()\)

有这个式子我们就可以很简单困难的求出答案了，设\(B_i=\)\(\sum_{i=1}^n(A_{i-1}+(i-1)*M\)，\(B\)数组可以由递推得到，那么问题就简化成了在数组\(B\)中求一个数，使得剩余数到它的距离之和最小，答案是中位数，证明如下。



假设\(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\)有序，则\(a_3\)是中位数无疑，我们用线段来表示点与点之间的距离，可以看出蓝色框框内的线段是必不可少的，不管怎么划分都必须要有，如果这个点在\(a_3\)的左边，那么就会多出粉色的一截，在右边就会多出红色的一截，所以在中位数时是最小的。

那偶数呢？偶数不是有两个中位数吗？偶数时也画出一个这样的图，会发现当点在两个中位数之间距离都是一样的，并且是最小，所以为了方便，每次中位数都取\(n+1>>1\)就可以了。

中位数怎么找呢，排序一遍可以，但复杂度是\(O(nlogn)\)的，如果要使数组有序，那么肯定是要\(sort\)的，这里只求中位数，所以可以用\(nth\)\(element\)，这个函数的用法是\(nth\)\(element(A+a,b,A+c)\)，表示将数组A的区间\([a,c)\)中第b大的数放在b位置上，不保证数组有序，但比这个数大的都在它前边，比它小的在它后边，平均时间复杂度\(O(n)\)。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e6+10;
ll a[N],b[N];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    while(cin>>n){
        ll tot=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cin>>a[i],tot+=a[i],b[i]=0;
        tot/=n;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            b[i]=b[i-1]+a[i]-tot;
        int mid=n+1>>1;
        nth_element(b+1,b+mid,b+n+1);
        ll temp=b[mid],res=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            res+=abs(temp-b[i]);
        cout<<res<<'\n';
    }
}

tips:cout<<endl的确比cout<<'\n'慢一点。