图论介绍（Graph Theory）

1 图论概述

1.1 发展历史

• 第一阶段：

1736：欧拉发表首篇关于图论的文章，研究了哥尼斯堡七桥问题，被称为图论之父

1750：提出了拓扑学的第一个定理，多面体欧拉公式：V-E+F=2

• 第二阶段（19~20世纪）：

1852: Francis Guthrie提出四色问题

1856: Thomas P. Kirkman & William R.Hamilton研究了哈密尔顿图

1878: Alfred Kempe给出给出四色定理证明

1890: 希伍德（Heawood）推翻原有四色定理证明

1891: 彼得森（Petersen 丹麦）给出关于图论的理论知识的第一篇论文

1936: 哥尼格(Dénes Kőnig Hungarian), 写出第一本图论专著《有限图与无限图的理论》，图论成为了一门独立学科

• 第三阶段（现代图论）：

1941: F. P. Ramsey开创 Extremal graph theory

1959: Erd˝os and Rényi 引入随机图理论 （边的存在的概率为p）

1976: Kenneth Appel & Wolfgang Haken使用计算机最终证明了四色问题

1.2 参考教材

Graph Theory with Application - J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Elsevier, 1976

《图论及其应用》 经典教材，吴望名译，有电子版

Graph theory - J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Springer, 2008

《图论》GTM244，可以认为是 “Graph Theory with Application” 的第二版，推荐教材

Graph Theory, 5th - Reinhard Diestel, Springer, 2017

《图论》GTM173，有电子版

Introduction to Graph Theory, 2nd- Douglas B. West, 2017

入门教材

2 ，图的初步知识

（注：一般考虑simple graph (no graph loops or multiple edges), 且阶大于等于2）

2.1 规则图

Definition: 所有顶点的度相同的图叫不规则图 (irregular graph)

Definition: 只有一对顶点的度相同的图叫几乎不规则图 (almost irregular graph)

Theorem:

1）不规则图不存在

2）恰好存在两个阶数相同的几乎不规则图，且互为补图（顶点相同，边合起来是完全图）

3）对于任意最大值为n的正整数集合，存在n+1阶的图，使其顶点数正好等于这些整数

（以上结论不适用于多重图和加权图）

2.2 正则图

Definition: 所有顶点的度为r的图叫 r-正则图 (r-regular graph)

e.g. 单连通的0-regular是单个点，单连通的1-regular是一条边的图，单连通的2-regular是一个圈，单连通的3-regular称为立方图

Theorem: n阶r正则图存在，只要r, n不都是奇数，且r<=n-1

常用正则图：

Kn: n阶完全图，r = n-1

Cn: n(n>=3)阶圈， r = 2

Qn: 2^n阶的超立方体(n-cube), r = n

Kr,r: 2r阶的二分图

2.3 二分图（bipartite graph）

Definition：顶点被分为两个集合，所有边只在两个集合之间连接的图叫二分图

Theorem：图G是二分图 <=> G中无奇圈

2.4 子图

图G，子图（subgraph）H

subgraph ---> spanning subgraph

---> induced subgraph ---> vertex-delete subgraph

spanning subgraph: 生成子图，H和G的顶点相同

induced subgraph: 诱导子图，H = G[S] (从图中去除1个或多个顶点)

vertex-delete subgraph: 去顶点子图，从图中去除1个顶点

Theorem：任意图都可以表示为某个正则图的导出子图

未解问题：给定某一图G的所有去顶点子图，是否能够重构出唯一的图G（同构意义上是唯一的）？该

2.5 距离

Definition：连通图（connected），由多个连通分支（component）构成的图为不连通图（disconnected）。

G-v 比 G有更多的连通分支，则v称为G的割点（cut-vertex）

G-e 比 G有跟多的连通分支，则e称为G的桥（bridge）

Theorem:

连通图G，e是桥 <=> e不属于G的任何一个圈 <=> 存在顶点u，v，使得任意路径u-v的路径经过e

连通图G，w是割点 <=> 存在顶点u，v，使得任意路径u-v的路径经过w

Definition：

顶点x-y之间的距离（distance）：所有x-y路径的最小长度。

顶点v的离心率（eccentricity）：v到距离v最远顶点u的距离，u被称为v的离心顶点（eccentric vertix）

中心顶点：G中离心率最小的顶点

2.6 Tree

Definition：不包含圈的连通图为树（Tree）

Theorem：图G是树 <=> G中任意两个顶点都有且只有一条连通路径

n阶树有n-1条边

在G内添加任意一条边，就会形成一个回路。

去掉任意一条边，就不再连通。

G内的任意两个顶点能被唯一路径所连通。

一颗树的每一个节点都可以作为根

Definition：叶子（leaf）：树中度为1的节点

Theorem：树至少有两个节点

Definition：生成树（spanning graph）：图G的生成子图T是树，则T称为G的生成树

最小生成树：加权边之和最小的生成树

克鲁克斯算法：依次选择最小权的边，但保证不形成圈，可以生成最小生成树

3，图的遍历

Definition：

对于某个顶点序列（v1，v2，..., vk）

通路 (walk) ---> 路径 (path) ---> 圈 (circle)

|                |

v               v

---> 迹 (trail)  ---> 回路 (circuit)

闭合的含义：v₁=v_k

walk: 所有 v_i-v_i+1 都是图的边

path: 所有的顶点不重复，闭合path为circle

trail: 所有边不重复. 闭合trail为circuit

注：path -> trail,  circle -> circuit

3.1 欧拉图问题（遍历所有边不能重复，一笔画问题）

欧拉回路 (Eulerian circuit): 包含G中所有边的回路

欧拉迹 (Eulerian trail or Eulerian tour): 包含G中所有边的迹

包含一个欧拉回路的连通图为欧拉图

Theorem：

连通图G是欧拉的 <=> 每个顶点的度是偶数，（注：G可以是多重图）

连通图G含有欧拉迹 <=> 图G中恰好有两个顶点是奇数度 （注：G可以是多重图，欧拉迹从这两个奇数度的顶点开始和结束）

3.2 中国邮递员问题（遍历所有边可以重复）

Definition：欧拉通路：经过G的所有边的最短闭通路

找到欧拉通路的方法：对奇数度的顶点添加多重边，使每个顶点的度都是偶数

Theorem：欧拉通路一定经过G中的桥两次 （注：也即是是说讲桥复制为欧拉多重图）

注：加权图也可以用类似思路解决

3.3，哈密尔顿问题 (遍历所有点不能重复)

Definition：经过图中所有顶点的圈为哈密尔顿圈，包含哈密尔顿的圈为哈密尔顿图。

还没有任何理论可以精确判定一个图是否是哈密尔顿图，但已有如下结论

Theorem:

设G是一个n阶图，每个顶点的度>=n/2, 则G为哈密尔顿图；

（奥尔定理）如果n阶图G中任意一对不相邻的顶点的度数和大于等于n，则G是哈密尔顿图；

如果G是哈密尔顿图，那么任意去掉G的k个顶点，剩余的图最多含有k个连通分支；

3.4 旅行商问题 （遍历所有点可以重复）

TSP（Traveling Salesman Problem），通过优化算法求解

4，图的匹配和分解

4.1 匹配（Matching）

（研究二分图中两个集合中元素的配对问题）

Definition: 一组互不相邻的边组成的集合叫做匹配（matching）（匹配的概念可以用于所有的图）

相异代表系：n个非空集合，每个集合挑出一个元素，这n个元素可以互不相同。因此，集合系有相异代表系，等价于对应的二分图（集合系和元素组成二分图的顶点集合）含有大小为n的匹配。

（霍尔定理）n个非空集合存在相异代表系 <=> 任意k个集合的并，含有不少于k个元素 （k=1,…,n）。

Definition: G中包含边最多的匹配为最大匹配

Definition: 匹配覆盖了图中所有的顶点的匹配为完美匹配  (n阶图的完美匹配的大小为n/2)

(塔特定理) 图G有完美匹配 <=> 对于任意一个顶点的真子集S，都有 k₀(G-S) <= |S|,  其中k₀(G)表示G中奇数阶连通分支的数量

1-regular graph有完美匹配

2-regular graph有完美匹配 <=> G中每个连通分支都是一个偶阶圈

3-regular graph（立方图） （彼得森定理）每个无桥立方图含有一个完美匹配

4.2 正则图的1-因子分解

Definition：

图G的1-正则生成子图称为1-因子图 （1-因子图的边为图G的完美匹配）

图G的边集合可以表示为多个1-因子图的划分，则G称为1-因子分解图

由定义可知，每个1-因子分解图必定是一个偶数阶的r-正则图

注：反之不成立，例如彼得森图（10阶3-正则图）不是1-因子分解图

Theorem：偶数阶完全图是1-因子分解图；

猜想：若G是n阶r-正则图，且r>=n/2，则G是1-因子分解图。可分解为r个1-因子图

4.3 正则图的2-因子分解（圈分解）

Theorem：

（彼得森给出证明）图G是2-因子分解图 <=> G是r-正则，r为偶数；

完全图的分解定理（2012年证明，之前为阿尔斯波猜想）

（布莱恩特-霍斯利-彼得森定理）

1，n为奇数 (n>=3)，m1+m2+…+mt = n(n-1)/2, Kn可以分解为Cm1, Cm2, … , Cmt；

2，n为偶数 (n>=4)，m1+m2+…+mt = n(n-2)/2, Kn-M可以分解为Cm1, Cm2, … , Cmt ，其中M是Kn中的一个完美匹配；

推论：n为奇数，且m可以整除n(n-1)/2，那么Kn为Cm-可分解图；

再推论：n为奇数，Kn是哈密尔顿因子分解图（每个圈是哈密尔顿圈）

应用：

斯坦纳三元系（Steiner triple systems）问题

n个元素，每3个元素为一组（称为三元组）， 每一对元素恰好落在一个三元组中，这个分组称为斯坦纳三元系

等价于将Kn分解为多个C3

5，图的画法（可平面图，交叉点数）

Definition：如果图G能在平面上画出来，且任何两条边不相交，则称G为可平面图（planar graph），将可平面图在平面上画出得到的图为平面嵌入图（planar embedding）或平面图；

Three Houses and Three Utilities Problem等价为K3,3 是不是可平面图

最大平面图的区域都是三角形

欧拉多面体公式：V-E+F=2

多面体可以投影到平面上形成多面体的平面图

欧拉恒等式：G是连通的平面嵌入图，有n个顶点、m条边、r个区域，则n-m+r=2

Theorem：平面图G，则m<=3n-6，其中n为阶数，m为边数

推论：每个平面图都包含一个不超过5度的顶点；

（以下两个定理等价）

库拉托夫斯基定理：图G是可平面图 <=> G不包含K5和K3,3的剖分子图作为其子图

注：在图G的边上插入任意个（可以是0个）2度的顶点得到的图称为G的剖分子图

瓦格纳定理：图G是可平面图 <=> K5和K3,3都不是G的缩图

注：将图G中的某条边收缩为一个顶点，并删除重叠的顶点和边，形成的图为缩图（剖分图，则H是G的缩图）

缩图定理：对于任意一个含有无限个图的图集合，必定有一个图是另一个图的缩图

Definition：把图G画在平面上，产生的最少交叉点数目称为图G的交叉数cr(G) （crossing number）

Definition：把图G用直线画在平面上，产生的最少交叉点数目称为图G的直线段交叉数cr_(G) （rectilinear crossing number）

Theorem：cr(G) >= m-3n+6

cr(Kn) <= ¼ floor(n/2) floor((n-1)/2) floor((n-2)/2) floor((n-3)/2), 其中，当n<=12，上式中的等号成立

（法里定理）可平面图可以用直线画法无交叉点，即cr_(G) = 0

6，图的着色（顶点着色，边着色）

四色定理：每个可平面图的顶点能够以四种或更少的颜色被着色，且每两个相邻顶点的颜色不同