求：

\(S(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}lcm(i,j)\)

显然：

\(S(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{ij}{gcd(i,j)}\)

枚举g：

\(S(n,m)=\sum\limits_{g=1}^{n}\frac{1}{g}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ij[gcd(i,j)==g]\)

除以g：

\(S(n,m)=\sum\limits_{g=1}^{n}g\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{g}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{g}\rfloor}ij[gcd(i,j)==1]\)

记：

\(S_1(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ij[gcd(i,j)==1]\)

原式：

\(S(n,m)=\sum\limits_{g=1}^{n}gS_1(\lfloor\frac{n}{g}\rfloor,\lfloor\frac{m}{g}\rfloor)\)

化简\(S_1(n,m)\)，显然：

\(S_1(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ij\sum\limits_{k|gcd(i,j)}\mu(k)\)

枚举k：

\(S_1(n,m)=\sum\limits_{k=1}^{min}\mu(k)\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ij[k|gcd(i,j)]\)

显然：

\(S_1(n,m)=\sum\limits_{k=1}^{min}\mu(k)\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ij[k|i][k|j]\)

这种时候可以除以k：

\(S_1(n,m)=\sum\limits_{k=1}^{min}\mu(k)k^2\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}ij[1|i][1|j]\)

即：

\(S_1(n,m)=\sum\limits_{k=1}^{min}\mu(k)k^2\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}ij\)

记：

\(S_2(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}ij\)

原式：

\(S_1(n,m)=\sum\limits_{k=1}^{min}\mu(k)k^2S_2(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor,\lfloor\frac{m}{k}\rfloor)\)

显然：

\(S_2(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}i\sum\limits_{j=1}^{m}j\)

即：

\(S_2(n,m)=\frac{1}{4}n(n+1)m(m+1)\)

时间复杂度：

求\(S_2(n,m)\)是\(O(1)\)，分块求\(S_1(n,m)\)是\(O(n^{\frac{1}{2}})\)（大概），分块求\(S(n,m)\)是\(O(n)\)（大概）。

还需要线性筛出：\(\sum\limits_{k=1}^{min}\mu(k)k^2\)

线性筛已经足够了，还好写，不过为什么不试一波杜教筛呢？

  1. #include<bits/stdc++.h>
  2. using namespace std;
  3. typedef long long ll;
  5. const int mod=20101009;
  6. const int MAXN=1e7;
  8. int pri[MAXN+1];
  9. int &pritop=pri[0];
  10. int A[MAXN+1];
  11. int pk[MAXN+1];
  13. void sieve(int n=MAXN) {
  14.     pk[1]=1;
  15.     A[1]=1;
  16.     for(int i=2; i<=n; i++) {
  17.         if(!pri[i]) {
  18.             pri[++pritop]=i;
  19.             pk[i]=i;
  20.             ll tmp=1ll*i*i;
  21.             if(tmp>=mod)
  22.                 tmp%=mod;
  23.             tmp=-tmp;
  24.             if(tmp<mod)
  25.                 tmp+=mod;
  26.             A[i]=tmp;
  27.         }
  28.         for(int j=1; j<=pritop; j++) {
  29.             int &p=pri[j];
  30.             int t=i*p;
  31.             if(t>n)
  32.                 break;
  33.             pri[t]=1;
  34.             if(i%p) {
  35.                 pk[t]=p;
  36.                 ll tmp=1ll*A[i]*A[p];
  37.                 if(tmp>=mod)
  38.                     tmp%=mod;
  39.                 A[t]=tmp;
  40.             } else {
  41.                 pk[t]=pk[i]*p;
  42.                 if(pk[t]==t) {
  43.                     A[t]=0;
  44.                 } else {
  45.                     ll tmp=1ll*A[t/pk[t]]*A[pk[t]];
  46.                     if(tmp>=mod)
  47.                         tmp%=mod;
  48.                     A[t]=tmp;
  49.                 }
  50.                 break;
  51.             }
  52.         }
  53.     }
  54.     for(int i=1; i<=n; i++) {
  55.         A[i]+=A[i-1];
  56.         if(A[i]>=mod)
  57.             A[i]-=mod;
  58.     }
  59. }
  61. inline int qpow(ll x,int n) {
  62.     ll res=1;
  63.     while(n) {
  64.         if(n&1) {
  65.             res*=x;
  66.             if(res>=mod)
  67.                 res%=mod;
  68.         }
  69.         x*=x;
  70.         if(x>=mod)
  71.             x%=mod;
  72.         n>>=1;
  73.     }
  74.     return res;
  75. }
  77. const int inv4=qpow(4,mod-2);
  79. inline int S2(int n,int m) {
  80.     ll res=1ll*n*(n+1);
  81.     if(res>=mod)
  82.         res%=mod;
  83.     res*=m;
  84.     if(res>=mod)
  85.         res%=mod;
  86.     res*=(m+1);
  87.     if(res>=mod)
  88.         res%=mod;
  89.     res*=inv4;
  90.     if(res>=mod)
  91.         res%=mod;
  92.     return res;
  93. }
  95. inline int S1(int n,int m) {
  96.     ll res=0;
  97.     int nm=min(n,m);
  98.     for(int l=1,r; l<=nm; l=r+1) {
  99.         int tn=n/l;
  100.         int tm=m/l;
  101.         r=min(n/tn,m/tm);
  102.         ll tmp=A[r]-A[l-1];
  103.         if(tmp<0)
  104.             tmp+=mod;
  105.         tmp*=S2(tn,tm);
  106.         if(tmp>=mod)
  107.             tmp%=mod;
  108.         res+=tmp;
  109.     }
  110.     if(res>=mod)
  111.         res%=mod;
  112.     return res;
  113. }
  115. inline int s1(int l,int r) {
  116.     ll res=(1ll*(l+r)*(r-l+1))>>1;
  117.     if(res>=mod)
  118.         res%=mod;
  119.     return res;
  120. }
  122. inline int S(int n,int m) {
  123.     ll res=0;
  124.     int nm=min(n,m);
  125.     for(int l=1,r; l<=nm; l=r+1) {
  126.         int tn=n/l;
  127.         int tm=m/l;
  128.         r=min(n/tn,m/tm);
  129.         ll tmp=s1(l,r);
  130.         tmp*=S1(tn,tm);
  131.         if(tmp>=mod)
  132.             tmp%=mod;
  133.         res+=tmp;
  134.     }
  135.     if(res>=mod)
  136.         res%=mod;
  137.     return res;
  138. }
  140. int main() {
  141. #ifdef Yinku
  142.     freopen("Yinku.in","r",stdin);
  143. #endif // Yinku
  144.     int n,m;
  145.     scanf("%d%d",&n,&m);
  146.     sieve(max(n,m));
  147.     printf("%d\n",S(n,m));
  148.     return 0;
  149. }

杜教筛还是非常快的。

  1. #include<bits/stdc++.h>
  2. using namespace std;
  3. typedef long long ll;
  5. const int mod=20101009;
  6. //杜教筛
  7. const int MAXN=pow(1e7,2.0/3.0)+1;
  8. int pri[MAXN+1];
  9. int &pritop=pri[0];
  10. int A[MAXN+1];
  11. int pk[MAXN+1];
  13. void sieve(int n=MAXN) {
  14.     pk[1]=1;
  15.     A[1]=1;
  16.     for(int i=2; i<=n; i++) {
  17.         if(!pri[i]) {
  18.             pri[++pritop]=i;
  19.             pk[i]=i;
  20.             ll tmp=1ll*i*i;
  21.             if(tmp>=mod)
  22.                 tmp%=mod;
  23.             tmp=-tmp;
  24.             if(tmp<mod)
  25.                 tmp+=mod;
  26.             A[i]=tmp;
  27.         }
  28.         for(int j=1; j<=pritop; j++) {
  29.             int &p=pri[j];
  30.             int t=i*p;
  31.             if(t>n)
  32.                 break;
  33.             pri[t]=1;
  34.             if(i%p) {
  35.                 pk[t]=p;
  36.                 ll tmp=1ll*A[i]*A[p];
  37.                 if(tmp>=mod)
  38.                     tmp%=mod;
  39.                 A[t]=tmp;
  40.             } else {
  41.                 pk[t]=pk[i]*p;
  42.                 if(pk[t]==t) {
  43.                     A[t]=0;
  44.                 } else {
  45.                     ll tmp=1ll*A[t/pk[t]]*A[pk[t]];
  46.                     if(tmp>=mod)
  47.                         tmp%=mod;
  48.                     A[t]=tmp;
  49.                 }
  50.                 break;
  51.             }
  52.         }
  53.     }
  54.     for(int i=1; i<=n; i++) {
  55.         A[i]+=A[i-1];
  56.         if(A[i]>=mod)
  57.             A[i]-=mod;
  58.     }
  59. }
  61. inline int qpow(ll x,int n) {
  62.     ll res=1;
  63.     while(n) {
  64.         if(n&1) {
  65.             res*=x;
  66.             if(res>=mod)
  67.                 res%=mod;
  68.         }
  69.         x*=x;
  70.         if(x>=mod)
  71.             x%=mod;
  72.         n>>=1;
  73.     }
  74.     return res;
  75. }
  77. const int inv4=qpow(4,mod-2);
  79. inline int S2(int n,int m) {
  80.     ll res=1ll*n*(n+1);
  81.     if(res>=mod)
  82.         res%=mod;
  83.     res*=m;
  84.     if(res>=mod)
  85.         res%=mod;
  86.     res*=(m+1);
  87.     if(res>=mod)
  88.         res%=mod;
  89.     res*=inv4;
  90.     if(res>=mod)
  91.         res%=mod;
  92.     return res;
  93. }
  95. const int inv6=qpow(6,mod-2);
  97. inline int s2(int n) {
  98.     ll res=1ll*n*(n+1);
  99.     if(res>=mod)
  100.         res%=mod;
  101.     res*=(2ll*n+1);
  102.     if(res>=mod)
  103.         res%=mod;
  104.     res*=inv6;
  105.     if(res>=mod)
  106.         res%=mod;
  107.     return res;
  108. }
  110. unordered_map<int,int> GA;
  111. inline int Get_A(int n){
  112.     if(n<=MAXN)
  113.         return A[n];
  114.     if(GA.count(n))
  115.         return GA[n];
  116.     ll res=1;
  117.     for(int l=2,r;l<=n;l=r+1){
  118.         int t=n/l;
  119.         r=n/t;
  120.         ll tmp=s2(r)-s2(l-1);
  121.         if(tmp<0)
  122.             tmp+=mod;
  123.         tmp*=Get_A(t);
  124.         if(tmp>=mod)
  125.             tmp%=mod;
  126.         res-=tmp;
  127.     }
  128.     res%=mod;
  129.     if(res<0)
  130.         res+=mod;
  131.     return GA[n]=res;
  132. }
  134. inline int S1(int n,int m) {
  135.     ll res=0;
  136.     int nm=min(n,m);
  137.     for(int l=1,r; l<=nm; l=r+1) {
  138.         int tn=n/l;
  139.         int tm=m/l;
  140.         r=min(n/tn,m/tm);
  141.         ll tmp=Get_A(r)-Get_A(l-1);
  142.         if(tmp<0)
  143.             tmp+=mod;
  144.         tmp*=S2(tn,tm);
  145.         if(tmp>=mod)
  146.             tmp%=mod;
  147.         res+=tmp;
  148.     }
  149.     if(res>=mod)
  150.         res%=mod;
  151.     return res;
  152. }
  154. inline int s1(int l,int r) {
  155.     ll res=(1ll*(l+r)*(r-l+1))>>1;
  156.     if(res>=mod)
  157.         res%=mod;
  158.     return res;
  159. }
  161. inline int S(int n,int m) {
  162.     ll res=0;
  163.     int nm=min(n,m);
  164.     for(int l=1,r; l<=nm; l=r+1) {
  165.         int tn=n/l;
  166.         int tm=m/l;
  167.         r=min(n/tn,m/tm);
  168.         ll tmp=s1(l,r);
  169.         tmp*=S1(tn,tm);
  170.         if(tmp>=mod)
  171.             tmp%=mod;
  172.         res+=tmp;
  173.     }
  174.     if(res>=mod)
  175.         res%=mod;
  176.     return res;
  177. }
  179. int main() {
  180. #ifdef Yinku
  181.     freopen("Yinku.in","r",stdin);
  182. #endif // Yinku
  183.     int n,m;
  184.     scanf("%d%d",&n,&m);
  185.     sieve();
  186.     printf("%d\n",S(n,m));
  187.     return 0;
  188. }

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