BZOJ3772：精神污染

浅谈主席树：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/9956734.html

题目传送门：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3772

简化题意就是求\(\sum\)覆盖路径\(i\)的路径条数。

假设路径\(i\)的两个端点是\(u\)，\(v\)，两个点的最近公共祖先是\(lca\)。

假如\(lca!=u\)并且\(lca!=v\)：显然能覆盖这条路径的路径是从\(u\)的子树里出发，到\(v\)的子树里结束。

假如不是上面那种情况，我们令\(lca=u\)：能覆盖本路径的路径是从\(node\)子树外出发，在\(v\)子树内结束的路径。\(node\)是\(u\)的直系儿子，是\(v\)的祖先。

我们对于每一条路径，都记录两次，分别记录从\(u\)可以到\(dfn[v]\)，从\(v\)可以到\(dfn[u]\)。然后按第一关键字的\(dfn\)排序，根据第一关键字的\(dfn\)从小到大往主席树里塞。

情况一里，从\(u\)的子树里出发的路径的第一关键字的\(dfn\)肯定是在\(dfn[u]\)～\(dfn[u]+siz[u]-1\)内的，而终点的\(dfn\)肯定是在区间\([dfn[v],dfn[v]+siz[v]-1]\)里的。前者可以对应上主席树的连续一段\(rt\)，后者则是主席树的值域下标的连续一段。

而情况二与情况一不同的是情况二的起点\(dfn\)对应两个区间，分别是\([1,dfn[node]-1]\)和\([dfn[node]+siz[node],n]\)。统计两次就行了。终点的\(dfn\)在\([dfn[v],dfn[v]+siz[v]-1]\)内。

哦对了，这题卡内存，倍增求\(lca\)会\(GG\)，我就用树剖了。

时间复杂度：\(O(mlogn)\)

空间复杂度：\(O(nlogn)\)

代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+1;
ll ans1,ans2;
int n,m,tot,tim,cnt;
int st[maxn],ed[maxn],rt[maxn<<1];
int wson[maxn],topfa[maxn],tmp[maxn<<1];
int now[maxn],pre[maxn<<1],son[maxn<<1];
int fa[maxn],siz[maxn],dfn[maxn],dep[maxn];
int read() {
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
	return x*f;
}
struct road {
	int pos,v;
	road() {}
	road(int _pos,int _v) {
		pos=_pos,v=_v;
	}
	bool operator<(const road &a)const {
		return dfn[pos]<dfn[a.pos];
	}
}fake[maxn<<1];
void add(int a,int b) {
	pre[++tot]=now[a];
	now[a]=tot;son[tot]=b;
}
void dfs(int lst,int u) {
	fa[u]=lst,dep[u]=dep[lst]+1;
	siz[u]=1;dfn[u]=++tim;
	for(int p=now[u];p;p=pre[p])
		if(son[p]!=lst) {
			int v=son[p];
			dfs(u,v);siz[u]+=siz[v];
			if(siz[v]>siz[wson[u]])wson[u]=v;
		}
}
void make_top(int top,int u) {
	topfa[u]=top;
	if(wson[u])make_top(top,wson[u]);
	for(int p=now[u];p;p=pre[p])
		if(son[p]!=fa[u]&&son[p]!=wson[u])
			make_top(son[p],son[p]);
}
int lca(int a,int b) {
	while(topfa[a]!=topfa[b]) {
		if(dep[topfa[a]]<dep[topfa[b]])swap(a,b);
		a=fa[topfa[a]];
	}
	return dep[a]<dep[b]?a:b;
}
struct tree_node {
	int cnt,ls,rs;
};
struct chairman_tree {
	int tot;
	tree_node tree[maxn*36];
	void ins(int lst,int &now,int l,int r,int pos) {
		now=++tot;tree[now]=tree[lst];tree[now].cnt++;
		if(l==r)return; int mid=(l+r)>>1;
		if(pos<=mid)ins(tree[lst].ls,tree[now].ls,l,mid,pos);
		else ins(tree[lst].rs,tree[now].rs,mid+1,r,pos);
	}
	int query(int L,int R,int l,int r,int x,int y) {
		if(x<=l&&r<=y)return tree[R].cnt-tree[L].cnt;
		int mid=(l+r)>>1,res=0;
		if(x<=mid)res+=query(tree[L].ls,tree[R].ls,l,mid,x,y);
		if(y>mid)res+=query(tree[L].rs,tree[R].rs,mid+1,r,x,y);
		return res;
	}
}T;
int calc1(int u,int v) {
	int a=u,node=0,res=0;
	while(a!=v) {
		if(fa[a]==v) {node=a;break;}
		else if(topfa[a]==topfa[v]) {node=wson[v];break;}
		node=topfa[a];a=fa[topfa[a]];
	}
	int L=dfn[node],R=dfn[node]+siz[node]-1;
	L=lower_bound(tmp+1,tmp+cnt+1,L)-tmp-1;
	R=upper_bound(tmp+1,tmp+cnt+1,R)-tmp-1;
	res+=T.query(rt[0],rt[L],1,n,dfn[u],dfn[u]+siz[u]-1);
	res+=T.query(rt[R],rt[cnt],1,n,dfn[u],dfn[u]+siz[u]-1);
	return res-1;//减去自己这条路径
}
int calc2(int u,int v) {
	int res=0,L=dfn[u],R=dfn[u]+siz[u]-1;
	L=lower_bound(tmp+1,tmp+cnt+1,L)-tmp-1;
	R=upper_bound(tmp+1,tmp+cnt+1,R)-tmp-1;
	res=T.query(rt[L],rt[R],1,n,dfn[v],dfn[v]+siz[v]-1);
	return res-1;//减去自己这条路径
}
ll gcd(ll a,ll b) {
	if(!b)return a;
	return gcd(b,a%b);
}
int main() {
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<n;i++) {
		int a=read(),b=read();
		add(a,b);add(b,a);
	}dfs(0,1);make_top(1,1);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		st[i]=read(),ed[i]=read();
		if(dep[st[i]]<dep[ed[i]]) swap(st[i],ed[i]);//保证如果lca是其中一点肯定是ed[i];
		fake[++cnt]=road(st[i],dfn[ed[i]]);
		if(st[i]!=ed[i])fake[++cnt]=road(ed[i],dfn[st[i]]);
	}sort(fake+1,fake+cnt+1);
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		tmp[i]=dfn[fake[i].pos];
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	    T.ins(rt[i-1],rt[i],1,n,fake[i].v);//建好主席树
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int tmp=lca(ed[i],st[i]);
		if(tmp==ed[i]) ans1+=calc1(st[i],ed[i]);
		else ans1+=calc2(st[i],ed[i]);
	}
	ans2=1ll*m*(m-1)/2;
	ll g=gcd(ans1,ans2);
	ans1/=g;ans2/=g;
	printf("%lld/%lld\n",ans1,ans2);
	return 0;
}