HDU 5378 树上的概率DP Leader in Tree Land

官方题解：

可以用求概率的思想来解决这个问题。令以i号节点为根的子树为第i棵子树，设这颗子树恰好有sz[i]个点。那么第i个点是第i棵子树最大值的概率为1/sz[i]，不是最大值的概率为(sz[i]-1)/sz[i]。现在可以求解恰好有k个最大值的概率。

令dp[i][j]表示考虑编号从1到i的点，其中恰好有j个点是其子树最大值的概率。 很容易得到如下转移方程：dp[i][j]=dp[i-1][j]*(sz[i]-1)/sz[i]+dp[i-1][j-1]/sz[i]。这样dp[n][k]就是所有点中恰好有k个最大值的概率。

题目要求的是方案数，用总数n！乘上概率就是答案。计算的时候用逆元代替上面的分数即可

另外我补充一下边界情况：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 using namespace std;

 typedef long long LL;

 const int maxn =  + ;
 const LL MOD = ;

 LL fac[maxn], invfac[maxn], inv[maxn];

 inline LL mul_mod(LL a, LL b) { return (a * b) % MOD; }

 LL pow_mod(LL a, LL n)
 {
     LL ans = , base = a;
     while(n)
     {
         if(n & ) ans = mul_mod(ans, base);
         base = mul_mod(base, base);
         n >>= ;
     }
     return ans;
 }

 LL inverse(LL a) { return pow_mod(a, MOD - ); }

 void preprocess()
 {
     fac[] = ;
     for(int i = ; i < maxn; i++) { inv[i] = inverse(i); fac[i] = (fac[i - ] * i) % MOD; }
     invfac[maxn - ] = inverse(fac[maxn - ]);
     for(int i = maxn - ; i >= ; i--) invfac[i] = mul_mod(invfac[i+], (i+));
 }

 vector<int> G[maxn];

 int sz[maxn];

 void dfs(int u, int fa)
 {
     sz[u] = ;
     for(int i = ; i < G[u].size(); i++)
     {
         int v = G[u][i];
         if(v == fa) continue;
         dfs(v, u);
         sz[u] += sz[v];
     }
 }

 LL d[maxn][maxn];

 int main()
 {
     preprocess();

     int T; scanf("%d", &T);
     for(int kase = ; kase <= T; kase++)
     {
         int n, k; scanf("%d%d", &n, &k);
         for(int i = ; i <= n; i++) G[i].clear();
         for(int u, v, i = ; i < n; i++)
         {
             scanf("%d%d", &u, &v);
             G[u].push_back(v); G[v].push_back(u);
         }

         dfs(, );
         d[][] = mul_mod(sz[] - , inv[sz[]]);
         d[][] = inv[sz[]];
         for(int i = ; i <= n; i++)
         {
             d[i][] = mul_mod(mul_mod(d[i-][], sz[i] - ), inv[sz[i]]);
             for(int j = ; j <= min(i, k); j++)
             {
                 LL t1 = mul_mod(mul_mod(d[i-][j], sz[i] - ), inv[sz[i]]);
                 LL t2 = mul_mod(d[i-][j-], inv[sz[i]]);
                 d[i][j] = t1 + t2;
                 if(d[i][j] >= MOD) d[i][j] -= MOD;
             }
         }

         LL ans = mul_mod(d[n][k], fac[n]);
         printf("Case #%d: %I64d\n", kase, ans);
     }

     return ;
 }

代码君