Codeforces Round #455 (Div. 2)

A. Generate Login

题目描述：给出两个字符串，分别取字符串的某个前缀，使得两个前缀连起来的字符串的字典序在所有方案中最小，输出该字符串。

solution
为保证字典序最小，第二个字符串只会选第一个字符，然后先选上第一个字符串的第一个字符（因为不能为空），接着从第二个字符开始，如果该字符小于第二个字符串的第一个字符，那么选上，否则停止，输出答案。

时间复杂度：\(O(n)\)

B. Segments

题目描述：给定一个数\(N\)，考虑数轴上的所有端点均为整数且在\([0, N]\)的线段，显然有\(\frac{n(n+1)}{2}\)，现将这些线段置于不同层，使得同一层的线段不重叠（端点不算），问最少要多少层？(下图为\(N=4\)时）

solution
考虑长度为一的线段，所有与该线段重叠的线段均在不同层，所以答案至少为\((\frac{n}{2}+1)\frac{n+1}{2}\)，事实上，这个就是答案，题解中也没讲得很清楚，只是说可以构造出来

时间复杂度：\(O(n)\)

C. Python Indentation

题目描述：给出一段简略版无缩进的Python代码（只有for和简单语句），问有多少中缩进满足Python语法。

solution
设\(f[i][j]\)表示到第\(i\)条语句缩进了\(j\)次，当第\(i-1\)条语句为for时，第\(i\)条语句必须缩进，所以\(f[i][j]=f[i-1][j-1]\)，若不是for则假设第\(i\)条语句缩进\(j\)次，那么这个状态可以从\(f[i-1][k], (k>=j)\)转移过来，也就是后缀和。

时间复杂度：\(O(n^2)\)

D. Colorful Points

题目描述：给定一个只有小写字母的字符串，每次操作选出字符串中与相邻位字母不一样（任意一个即可）的位置，然后删除，剩下的拼接在一起，问能执行多少次这样的操作

solution
因为如果与相邻位字母都相同的话，该字母不会被删除，所以可以把相邻的相同字母看成一组，假设有\(D\)组，每组有\(G(D)\)个字母，因此每一次操作只会把每一组的最左边和最右边删掉。每次求出最少操作数使得某个\(G(D)=0\)，更新答案，并更新每组剩下的字母个数，并且进行必要的合并，这里的时间复杂度为\(D\)，但每次更新后字母数至少减少\(D\)个，因此总的时间复杂度为\(O(n)\)

时间复杂度：\(O(n)\)

Coprocessor

题目描述：给定一个拓扑图表示依赖关系，并给定每个点（任务）必须在主进程执行还是副进程执行。开始时在主进程，每个任务执行前，它所依赖的任务必须已经执行，在主进程中可以调用副进程，每次调用时都可以执行若干个任务，但每个任务的依赖任务必须在该次调用中或已经执行了，副进程结束后会返回主进程。问至少需要调用多少次副进程才能完成所有任务。

solution
从叶子节点往上dp，假设当前节点为\(i\)，\(f[i]\)表示完成该子树的所有任务至少需要调用多少次副进程。如果节点\(i\)必须在主进程执行，那么(\(j\)为\(i\)的儿子）
\[
f[i]=max
\left\{\begin{matrix}
f[j]+1, j在副进程\\
f[j],j在主进程
\end{matrix}\right.
\]
如果\(i\)必须在副进程执行，则\(f[i]=max\){\(f[j]\)}
为了方便，可以添加一个主进程任务\(0\)，它的依赖为所有进程，最终答案就是\(f[0]\)

时间复杂度：\(O(n)\)

F. AND-permutations

题目描述：给定一个整数\(N\)，寻找两个\(N\)排列：

\(p_i \neq i\)且\(p_i \& i=0\)
\(p_i \neq i\)且\(p_i \& i \neq 0\)
若不存在，则输出NO

solution
考虑第一个排列。
当\(N\)为奇数时，不存在第一个排列，因为当\(i\)为奇数时，\(p_i\)为偶数（否则二进制最低位为\(1\)），但奇数个数与偶数个数不相等，所以无解。
当\(N\)为偶数时，注意到\((2^k+i) \& (2^k-i-1)\)等于0(\(i \geq 0\))，所以可以找出最大的\(k\)使\(2^k \leq N\)，然后构造解，更新\(N=2^{(k+1)}-N-2\)，直至\(N=0\)

考虑第二个排列。
手工构造可知，当\(N<6\)时无解，当\(N=6\)时，解为\(3,6,2,5,1,4\)，当\(N=7\)时，解为\(7,3,6,5,1,2,4\)。
当\(N>7\)时，因\(8\)~\(15\), \(16\)~\(31\), \(32\)~\(63\), ... , 每组的最高位一致，所以这些数各组循环移动一位即可。

时间复杂度：\(O(n)\)