[BJOI2011]禁忌 --- AC自动机 + 矩阵优化 + 期望
bzoj 2553 [BJOI2011]禁忌
题目描述:
Magic Land上的人们总是提起那个传说:他们的祖先John在那个东方岛屿帮助Koishi与其姐姐Satori最终战平。而后,Koishi恢复了读心的能力……
如今,在John已经成为传说的时代,再次造访那座岛屿的人们却发现Koishi遇到了新麻烦。
这次她遇到了Flandre Scarlet——她拥有可以使用禁忌魔法而不会受到伤害的能力。
为了说明什么是禁忌魔法及其伤害,引入以下概念:
1.字母集A上的每个非空字符串对应了一个魔法。
其中A是包含了前alphabet个小写字母的集合。
2.有一个集合T,包含了N个字母集A上的字符串
T中的每一串称为一个禁忌串(Taboo string)
3.一个魔法,或等价地,其对应的串s因为包含禁忌而对使用者造成的伤害按以下方式确定:
把s分割成若干段,考虑其中是禁忌串的段的数目,不同的分割可能会有不同的数目,其最大值就是这个伤害。
由于拥有了读心的能力,Koishi总是随机地使用Flandre Scarlet的魔法,可以确定的是,她的魔法正好对应字母集A上所有长度为len的串。
但是,Flandre Scarlet所使用的一些魔法是带有禁忌的,由于其自身特性,她可以使用禁忌魔法而不受到伤害,而Koishi就不同了。
可怜的Koishi每一次使用对方的魔法都面临着受到禁忌伤害的威胁。
你现在需要计算的是如果Koishi使用对方的每一个魔法的概率是均等的,那么每一次随机使用魔法所受到的禁忌伤害的期望值是多少。
输入格式:
第一行包含三个正整数N、len、alphabet。
接下来N行,每行包含一个串Ti,表示禁忌串。
输出格式:
一个非负实数,表示所受到禁忌伤害的期望值。
数据范围:
100%的数据中N ≤ 5,len ≤109,1 ≤ alphabet ≤ 26。
在所有数据中,有不少于40%的数据中:N = 1。
数据保证每个串Ti的长度不超过15,并且不是空串。
数据保证每个Ti均仅含有前alphabet个小写字母。
数据保证集合T中没有相同的元素,即对任意不同的i和j,有Ti≠Tj。
评分方法:
对于每一组数据,如果没有得到正确的输出(TLE、MLE、RTE、输出格式错误等)得0分。
否则:设你的输出是YourAns,标准输出是StdAns:
记MaxEPS = max(1.0 , StdAns)×10-6
如果|YourAns – StdAns| ≤ MaxEPS则得10分,否则得0分。
即:你的答案需要保证相对误差或绝对误差不超过10-6。
(不开 long double 不让过)
AC自动机最后一题。
(2011年的题比2017年的题难。。。)
先考虑一个字符串构成的权值。
一个字符串构成的权值??
动态规划??不好统计。
贪心??仿佛是。
怎么贪?
建成AC自动机,只要匹配到就返回根继续匹配。
为什么没有更优?
当我们优先选择在最前面,最短的那个可以匹配上的禁忌串时,后面的禁忌串是不可能出现的。
或者说,如果匹配串中的子串\([l,r]\)同时被多个串覆盖,那么,它要么被最前面的串匹配掉,要么被更前面的串匹配掉。
所以自然地最优。
知道了权值怎么来的,自然还要知道怎么统计。
设状态\(dp(i,j)\)表示长度为i, 状态为j的期望权值。
那么考虑转移造成的贡献,如果是禁忌串的结尾,那么就可以获得 \(1/alphabet\)的期望。
否则就转移吧。
注意到\(L\)非常大,需要矩阵优化。
转移矩阵怎么构造?
\(sum\)(老状态期望 * P(老状态 ---> 新状态))= 新状态期望
因此,不难想到设\(a(i,j)\)表示由\(i\)状态转移到\(j\)状态的概率来转移。
\(a(i,j)\)是可以预处理的。
完了吗?
并没有。
我们并没有办法得出最终的答案。
在矩阵中,\(a(root,...)\)已经被我们用来算概率了,它失去了统计期望的本事。
因此,我们需要一个专门来统计答案的点:\(daan\)
用\(daan\)来统计期望。
\(daan\)在图中的定义是什么?
每个点匹配到了禁忌串要返回根,先走过\(daan\)来统计答案。
(\(daan\)是\(root\)的统计答案的替代品)
\(daan\)在矩阵中有什么用?
注意到\(a(i,daan)=E(now)+a(i,daan)*a(daan,daan)\)
(\(E(now)\)其实也是用\(daan\)来统计期望)
这是什么?
如果设\(a(daan,daan)=1\),我们可以发现这就是\(i\)走到\(daan\)的期望
(期望的线性性质,\(i\)走\(x\)步到\(daan\)的期望=\(E(i,x-1)+E(i,x-2)+E(i,x-3)+...+E(i,0)\))
那么,现在\(a(i,daan)\)表示从\(i\)走x步到一个禁忌串的期望
因此,\(a(root,daan)\)就是每次的期望(根走\(x\)步走到禁忌串的期望)
所以,我们既能让根节点正常地参与概率转移矩阵的运算,又能统计答案。
\(daan\)相当于一个矩阵中的计数器
何乐而不为?
总结:
将AC自动机,贪心,概率和矩阵有机的结合,综合性特别强的一道题。
转移矩阵可谓独特,将过程量和答案量一起转移,令人惊叹。
好题。
附:
精度极其恶心,如果不在代码中强调精度,long double都可能WA
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