[BJOI2011]禁忌 --- AC自动机 + 矩阵优化 + 期望

bzoj 2553 [BJOI2011]禁忌

题目描述：

Magic Land上的人们总是提起那个传说：他们的祖先John在那个东方岛屿帮助Koishi与其姐姐Satori最终战平。而后，Koishi恢复了读心的能力……

如今，在John已经成为传说的时代，再次造访那座岛屿的人们却发现Koishi遇到了新麻烦。

这次她遇到了Flandre Scarlet——她拥有可以使用禁忌魔法而不会受到伤害的能力。

为了说明什么是禁忌魔法及其伤害，引入以下概念：

1．字母集A上的每个非空字符串对应了一个魔法。

其中A是包含了前alphabet个小写字母的集合。

2．有一个集合T，包含了N个字母集A上的字符串

T中的每一串称为一个禁忌串（Taboo string）

3．一个魔法，或等价地，其对应的串s因为包含禁忌而对使用者造成的伤害按以下方式确定：

把s分割成若干段，考虑其中是禁忌串的段的数目，不同的分割可能会有不同的数目，其最大值就是这个伤害。

由于拥有了读心的能力，Koishi总是随机地使用Flandre Scarlet的魔法，可以确定的是，她的魔法正好对应字母集A上所有长度为len的串。

但是，Flandre Scarlet所使用的一些魔法是带有禁忌的，由于其自身特性，她可以使用禁忌魔法而不受到伤害，而Koishi就不同了。

可怜的Koishi每一次使用对方的魔法都面临着受到禁忌伤害的威胁。

你现在需要计算的是如果Koishi使用对方的每一个魔法的概率是均等的，那么每一次随机使用魔法所受到的禁忌伤害的期望值是多少。

输入格式：

第一行包含三个正整数N、len、alphabet。

接下来N行，每行包含一个串T_i，表示禁忌串。

输出格式：

一个非负实数，表示所受到禁忌伤害的期望值。

数据范围：

100%的数据中N ≤ 5，len ≤10⁹，1 ≤ alphabet ≤ 26。

在所有数据中，有不少于40%的数据中：N = 1。

数据保证每个串T_i的长度不超过15，并且不是空串。

数据保证每个T_i均仅含有前alphabet个小写字母。

数据保证集合T中没有相同的元素，即对任意不同的i和j，有T_i≠T_j。

评分方法：

对于每一组数据，如果没有得到正确的输出（TLE、MLE、RTE、输出格式错误等）得0分。

否则：设你的输出是YourAns，标准输出是StdAns：

记MaxEPS = max(1.0 , StdAns)×10^-6

如果|YourAns – StdAns| ≤ MaxEPS则得10分，否则得0分。

即：你的答案需要保证相对误差或绝对误差不超过10^-6。

(不开 long double 不让过)

AC自动机最后一题。

（2011年的题比2017年的题难。。。）

先考虑一个字符串构成的权值。

一个字符串构成的权值？？

动态规划？？不好统计。

贪心？？仿佛是。

怎么贪？

建成AC自动机，只要匹配到就返回根继续匹配。

为什么没有更优？

当我们优先选择在最前面，最短的那个可以匹配上的禁忌串时，后面的禁忌串是不可能出现的。

或者说，如果匹配串中的子串\([l,r]\)同时被多个串覆盖，那么，它要么被最前面的串匹配掉，要么被更前面的串匹配掉。

所以自然地最优。

知道了权值怎么来的，自然还要知道怎么统计。

设状态\(dp(i,j)\)表示长度为i, 状态为j的期望权值。

那么考虑转移造成的贡献，如果是禁忌串的结尾，那么就可以获得 \(1/alphabet\)的期望。

否则就转移吧。

注意到\(L\)非常大，需要矩阵优化。

转移矩阵怎么构造？

\(sum\)(老状态期望 * P（老状态 ---> 新状态）)= 新状态期望

因此，不难想到设\(a(i,j)\)表示由\(i\)状态转移到\(j\)状态的概率来转移。

\(a(i,j)\)是可以预处理的。

完了吗？

并没有。

我们并没有办法得出最终的答案。

在矩阵中，\(a(root,...)\)已经被我们用来算概率了，它失去了统计期望的本事。

因此，我们需要一个专门来统计答案的点：\(daan\)

用\(daan\)来统计期望。

\(daan\)在图中的定义是什么？

每个点匹配到了禁忌串要返回根，先走过\(daan\)来统计答案。

（\(daan\)是\(root\)的统计答案的替代品）

\(daan\)在矩阵中有什么用？

注意到\(a(i,daan)=E(now)+a(i,daan)*a(daan,daan)\)

（\(E(now)\)其实也是用\(daan\)来统计期望）

这是什么？

如果设\(a(daan,daan)=1\)，我们可以发现这就是\(i\)走到\(daan\)的期望

（期望的线性性质，\(i\)走\(x\)步到\(daan\)的期望=\(E(i,x-1)+E(i,x-2)+E(i,x-3)+...+E(i,0)\)）

那么，现在\(a(i,daan)\)表示从\(i\)走x步到一个禁忌串的期望

因此，\(a(root,daan)\)就是每次的期望（根走\(x\)步走到禁忌串的期望）

所以，我们既能让根节点正常地参与概率转移矩阵的运算，又能统计答案。

\(daan\)相当于一个矩阵中的计数器

何乐而不为？

总结：

将AC自动机，贪心，概率和矩阵有机的结合，综合性特别强的一道题。

转移矩阵可谓独特，将过程量和答案量一起转移，令人惊叹。

好题。

附：

精度极其恶心，如果不在代码中强调精度，long double都可能WA

代码在此