题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1257

题意:

给定正整数 $n,k$,求 $(k \bmod 1) + (k \bmod 2) + \cdots + (k \bmod n) = \sum_{i=1}^{n}(k \bmod i)$ 的值。

题解:

显然 $k \bmod i = k - \lfloor k/i \rfloor \times i$,因此 $\sum_{i=1}^{n}(k \bmod i) = \sum_{i=1}^{n}(k - \lfloor k/i \rfloor \times i) = n \cdot k - \sum_{i=1}^{n}(\lfloor k/i \rfloor \times i)$。

对于任意正整数 $x \in [1,k]$, 设 $g(x) = \lfloor \frac{k}{\lfloor k/x \rfloor} \rfloor$,不难得出 $\lfloor k/x \rfloor \le k/x \Rightarrow \frac{k}{\lfloor k/x \rfloor} \ge \frac{k}{k/x} \Rightarrow \lfloor \frac{k}{\lfloor k/x \rfloor} \rfloor \ge \lfloor \frac{k}{k/x} \rfloor$,即 $g(x) \ge \lfloor \frac{k}{k/x} \rfloor = \lfloor x \rfloor = x$。

又根据 $f(x) = \frac{k}{x}$ 是一个单调递减函数,得到

$f(g(x)) \le f(x) \Rightarrow \frac{k}{g(x)} \le \frac{k}{x} \Rightarrow \lfloor \frac{k}{g(x)} \rfloor \le \lfloor \frac{k}{x} \rfloor$

另一方面,根据 $g(x) \le \frac{k}{\lfloor k/x \rfloor}$ 还能得出

因此,综上可以得出 $\lfloor \frac{k}{g(x)} \rfloor = \lfloor \frac{k}{x} \rfloor$;也就是说,对于任意的正整数 $i \in [x,g(x)]$,$\lfloor \frac{k}{i} \rfloor$ 都是相等的。

而与此同时,对于任意的正整数 $i \in [1,k]$,$\lfloor \frac{k}{i} \rfloor$ 的值最多只有 $2 \sqrt{k}$ 个,这是因为:

当 $i \le \sqrt{k}$ 时,$i$ 最多只有 $\sqrt{k}$ 个选择,相对应地,$\lfloor \frac{k}{i} \rfloor$ 也就最多 $\sqrt{k}$ 个值;而当 $i > \sqrt{k}$ 时,$\lfloor \frac{k}{i} \rfloor \le \frac{k}{i} < \sqrt{k}$,即 $\lfloor \frac{k}{i} \rfloor$ 只能取 $1 \sim \sqrt{k}$ 之间的值。

所以,对于任意的正整数 $i \in [1,k]$,$\lfloor \frac{k}{i} \rfloor$ 的值划分成 $O(\sqrt{k})$ 段。每一段上 $i \in [x,g(x)]$,$\lfloor \frac{k}{i} \rfloor$ 的值都等于 $\lfloor \frac{k}{x} \rfloor$。而在这一段中,$\sum_{i=x}^{g(x)}(\lfloor k/i \rfloor \times i) = \lfloor k/x \rfloor \sum_{i=x}^{g(x)}i$,即一个等差数列的求和。因此这个算法时间复杂度为 $O(\sqrt{k})$。

AC代码:

/**************************************************************
Problem: 1257
User: Dilthey
Language: C++
Result: Accepted
Time:20 ms
Memory:1288 kb
****************************************************************/ #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; ll n,k,ans;
inline ll g(ll x){return k/(k/x);}
inline ll sum(ll L,ll R){return (L+R)*(R-L+)/;}
int main()
{
while(cin>>n>>k)
{
ll ans=n*k;
n=min(n,k);
for(ll x=;x<=n;x=g(x)+)
{
ll y=min(g(x),n);
ans-=(k/x)*sum(x,y);
}
cout<<ans<<endl;
}
}

BZOJ 1257 - 余数之和 - [CQOI2007]的更多相关文章

  1. BZOJ - 1257 余数之和(数学)

    题目链接:余数之和 题意:给定正整数$n$和$k$,计算$k\%1+k\%2+\dots+k\%n$的值 思路:因为$k\%i=k-\left \lfloor \frac{k}{i} \right \ ...

  2. BZOJ 1257 余数之和

    Description 给出正整数\(n\)和\(k\),计算\(j(n, k)=k\;mod\;1\;+\;k\;mod\;2\;+\;k\;mod\;3\;+\;-\;+\;k\;mod\;n\) ...

  3. BZOJ 1257 余数之和sum

    题目链接:http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=1257 题意:计算sigama(m%i)(1<=i<=n). 思路: 这样就简 ...

  4. [bzoj] 1257 余数之和sum || 数论

    原题 给出正整数n和k,计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + - + k mod n的值,其中k mod i表示k除以i的余数. \(\sum^n_{i=1} ...

  5. bzoj 1257 余数之和 —— 数论分块

    题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1257 \( \sum\limits_{i=1}^{n}k\%i = \sum\limits_ ...

  6. BZOJ 1257 余数之和 题解

    题面 这道题是一道整除分块的模板题: 首先,知道分块的人应该知道,n/i最多有2*sqrt(n)种数,但这和余数有什么关系呢? 注意,只要n/i的值和n/(i+d)的值一样,那么n%i到n%(i+d) ...

  7. BZOJ 1257 余数之和sum(分块优化)

    题目链接:http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=46954 题意:f(n, k)=k mod 1 + k mod 2 ...

  8. 【BZOJ1257】【CQOI2007】余数之和sum

    Description 给出正整数n和k,计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值,其中k mod i表示k除以i的余数.例如j(5, ...

  9. Bzoj 1257 [CQOI2007]余数之和 (整除分块)

    Bzoj 1257 [CQOI2007]余数之和 (整除分块) 题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1257 一道简单题. 题目 ...

随机推荐

  1. ES6 的 一些语法

    1,let 声明变量 let 声明的变量只能在let 的块级作用域中生效,也是为了弥补var声明变量的全局污染问题. var 声明变量有变量提升的作用,也就是在声明变量之前可以使用变量 console ...

  2. Faster RCNN 学习笔记

    下面的介绍都是基于VGG16 的Faster RCNN网络,各网络的差异在于Conv layers层提取特征时有细微差异,至于后续的RPN层.Pooling层及全连接的分类和目标定位基本相同. 一). ...

  3. 第七节,Python的可视化包——matplotlib

    1.2D图表 import numpy as np import matplotlib as mpl import matplotlib.pyplot as plt # 通过rcParams设置全局横 ...

  4. CF1139C Edgy Trees

    题目地址:CF1139C Edgy Trees 红黑树 \(ans\) 应该等于总数(\(n^k\))减去不含黑色边的序列数量 不含黑色边就意味着一个序列只能在一个红色联通块中 一个红色联通块中的序列 ...

  5. java中的stream的泛型方法的使用示例

    本文章使用jdk8测试 ,并结合使用lambda测试 测试前准备一些测试数据: class ObjectDemo { private Integer id; private String name; ...

  6. Linux系统xinetd服务启动不了

    Linux系统xinetd服务启动不了 xinetd服务时发现xinetd服务启动不了,并出现错误提示xinetd:unrecognized service,当出现这个错误提示的时候说明系统未安装xi ...

  7. 利用python打印字符

    python unicode ('你好','UTF-8') print u'\u4f60\u597d'

  8. element-ui修改全局样式且只作用于当前页面

    1)修改组件的样式,但是只作用于当前页面,其他页面不受影响,做法有两种: 法一:使用关键字“/deep/” 1)在当前页面添加样式: <style lang="scss" s ...

  9. Linux内核原理与分析-第一周作业

    本科期间,学校开设过linux相关的课程,当时的学习方式主要以课堂听授为主.虽然老师也提供了相关的学习教材跟参考材料,但是整体学下来感觉收获并不是太大,现在回想起来,主要还是由于自己课下没有及时动手实 ...

  10. C - 树的统计Count - 树链剖分

    思路 :树剖模板,线段树维护即可. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define MID int m = (l+r)/2 #de ...