『最长等差数列 线性DP』
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<正文>
最长等差数列(51nod 1055)
Description
N个不同的正整数,找出由这些数组成的最长的等差数列。
例如:1 3 5 6 8 9 10 12 13 14
等差子数列包括(仅包括两项的不列举)
1 3 5
1 5 9 13
3 6 9 12
3 8 13
5 9 13
6 8 10 12 14
其中6 8 10 12 14最长,长度为5。
Input Format
第1行:N,N为正整数的数量(3 <= N <= 10000)。 第2 - N+1行:N个正整数。(2<= A[i] <= 10^9)
Output Format
最长等差数列的长度。
Sample Input
10
1
3
5
6
8
9
10
12
13
14
Sample Output
5
解析
对于一个序列的特定最优值求解,应该很容易想到是线性DP。第一步首先排序是很容易想到的。
第一个突破口在状态的设置,如果直接用n设置状态,发现会很难处理转移的问题。
\(f[i][j]\)代表以\(a_i\)为第一项,\(a_j\)为第二项所构成的等差数列的最长长度\((i<j)\)
考虑若\(a_k\)可以作为这个等差数列的第三项,且满足\((i<j<k)\),那么\(f[i][j]=f[j][k]+1\)。
由等差数列的性质可以得知,当\(a_k\)可以作为第三项时:\(a_j*2=a_i+a_k\)。
此时我们枚举\(j\),将\(i\),\(k\)设为指针利用性质的大小关系去扫描即可,可以做到时间复杂度\(O(n^2)\)。
当然,由于\((i<j<k)\),所以转移时需要倒序枚举。
\(Code:\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(int &k)
{
int w=0,x=0;char ch;
while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
k=(w?-x:x);return;
}
const int N=10000+80;
int n,a[N];
short int f[N][N]={},ans=2;
inline void input(void)
{
read(n);
for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
}
inline void init(void)
{
sort(a+1,a+n+1);
for(int i=1;i<n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
f[i][j]=2;
}
inline void dp(void)
{
for(int j=n-1;j>=2;j--)
{
int i=j-1,k=j+1;
while(i>=1&&k<=n)
{
if(a[j]*2==a[i]+a[k])
{
f[i][j]=f[j][k]+1;
ans=max(ans,f[i][j]);
k++,i--;
}
if(a[j]*2>a[i]+a[k])k++;
if(a[j]*2<a[i]+a[k])i--;
}
}
}
int main(void)
{
input();
init();
dp();
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
考点:灵活的状态设置。
<后记>
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