[物理学与PDEs]第2章第2节 粘性流体力学方程组 2.5 粘性热传导流体动力学方程组的数学结构

1.  粘性热传导流体动力学方程组可化为 $$\beex \bea \cfrac{\p \rho}{\p t}&+({\bf u}\cdot\n)\rho=-\rho \Div{\bf u},\\ \cfrac{\p{\bf u}}{\p t}&-\cfrac{\mu}{\rho}\lap {\bf u} -\cfrac{\mu'+\cfrac{1}{3}\mu}{\rho}\n\Div{\bf u} =\cfrac{1}{\rho} \sez{ \rho {\bf F}-c^2\n\rho-\cfrac{\p p}{\p T}\n T- (\rho{\bf u}\cdot\n){\bf u}\atop +\cfrac{2\rd \mu}{\rd T}{\bf S}\cdot\n T +\cfrac{\rd \sex{\mu'-\cfrac{2}{3}\mu}}{\rd T} (\Div{\bf u})\n T }\\ \cfrac{\p T}{\p t}&-\cfrac{\kappa}{\rho \cfrac{\p e}{\p T}}\lap T =\cfrac{1}{\cfrac{\p e}{\p T}} \sez{ \sex{ \rho \cfrac{\p e}{\p \rho}-\cfrac{p}{\rho} }\Div{\bf u} +\cfrac{2\mu}{\rho}{\bf S}\cdot\n {\bf u}^T\atop +\cfrac{1}{\rho}\sex{\mu'-\cfrac{2}{3}\mu}(\Div{\bf u})^2 -({\bf u}\cdot\n)T+\cfrac{1}{\rho \cfrac{\p e}{\p \rho}}\n\kappa\cdot\n T }. \eea \eeex$$

2.  $\rho$ 的方程为 $$\bex A_0\cfrac{\p \rho}{\p t}+\sum_{k=1}^3 A_k({\bf u})\cfrac{\p \rho}{\p x_k}=-\rho \Div{\bf u}, \eex$$ 其中 $$\bex A_0=1,\quad A_k({\bf u})=u_k; \eex$$ 而其为一阶双曲型方程.

3.  $U=(u_1,u_2,u_3,T)^T$ 的方程为 $$\bex \cfrac{\p U}{\p t}-\sum_{i,j=1}^3 B_{ij}(\rho,U)\cfrac{\p^2U}{\p x_i\p x_j}=C(\rho,\n \rho,U,\n U), \eex$$ 其中 $B_{ij}$ 可定出, 均为对称矩阵; 且对 $\forall\ {\bf \xi}:\ |{\bf \xi}|=1$, 有 $\dps{\sum_{i,j=1}^3 B_{ij}\xi_i\xi_j}$ 为正定阵.

4.  对称抛物型方程组的定义 对方程组 $$\bee\label{2_2_5_para} \cfrac{\p U}{\p t}-\sum_{i,j=1}^n B_{ij}\cfrac{\p^2U}{\p x_i\p x_j}=C, \eee$$ 其中 $U=(u_1,\cdots,u_n)^T$, $B_{ij}$ 为 $m\times m$ 阵, 若 $B_{ij}$ 为对称阵, 且对 $\forall\ {\bf \xi}\in{\bf R}^n:\ |{\bf \xi}|=1$, $\dps{\sum_{i,j=1}^n B_{ij}\xi_i\xi_j}$ 为正定阵, 则称 \eqref{2_2_5_para} 为 Petrovsky 意义下的对称抛物型方程组.

5.  总结: 粘性热传导流体动力学方程组是一个拟线性对称双曲-抛物耦合方程组.

6.  对粘性热传导流体动力学方程组, 可以提 Cauchy 问题, 其有局部经典解、小初值整体经典解; 也可提初边值问题 (特别是对绕流问题而言).