BZOJ2005 能量汇集 【gcd求和】

2005: [Noi2010]能量采集

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Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

题解

这道题有多种解法。

首先对于一个点(x,y)，它的贡献为2 * gcd(x,y) - 1，因为在(x,y)之前有gcd(x,y) - 1个点与它斜率相等【即在它与0的连线上】

这样我们的任务就变成了求∑∑gcd(i,j)

求gcd和有多种方法，比较简单的就是设f[i]表示gcd = i的个数，g[i]表示i | gcd的个数

那么显然g[i] = [n / i] * [m / i]

而f[i] = g[i] - (f[2 * i] + f[3 * i] + f[4 * i] + .....)

倒推即可求出

最后的gcdsum = ∑f[i] * i

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define fo(i,x,y) for (int i = (x); i <= (y); i++)
#define Redge(u) for (int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next)
using namespace std;
const int maxn = 100005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
int n,m;
LL f[maxn];
int main()
{
	cin>>n>>m;
	if (n > m) swap(n,m);
	LL ans = 0;
	for (int i = n; i > 0; i--){
		f[i] = (LL)(n / i) * (m / i);
		for (int k = i + i; k <= n; k += i)
			f[i] -= f[k];
		ans += f[i] * i;
	}
	cout<<2 * ans - (LL)n * m<<endl;
	return 0;
}