问题描述

每条边两个权值 \(x,y\),求一棵 \((\sum x) \times (\sum y)\) 最小的生成树

Sol

把每一棵生成树的权值 \(\sum x\) 和 \(\sum y\) 看成平面上的一个点 \((X,Y)\)

那么就是要求 \(X \times Y\) 最小

设 \(k=X \times Y\),则 \(Y = \frac{k}{X}\)

也就是要求这个反比例函数最靠近坐标轴

我们知道了 \(X\) 最小和 \(Y\) 最小的答案(两遍最小生成树)

设这两个点为 \(A,B\)

那么就是要在 \(AB\) 这条直线的左边找到一个距离最远的点 \(C\) 来更新当前答案

也就是向量 \(\vec {AB}\) 和 \(\vec {AC}\) 叉积最小(为负数,也就是面积)

即 \((Bx-Ax)\times (Cy-Ay)-(Cx-Ax) \times (By-Ay)\) 最小

化简就是 \((Bx-Ax)\times Cy-(By-Ay)\times Cx+...\) (省略号为常数)

那么每条边改一下权值为 \((Bx-Ax)\times y-(By-Ay)\times x\)

然后求一遍最小生成树求出 \(C\),递归处理 \(AC\) 和 \(CB\) 即可

p.s: 最小乘积匹配也可以这么做

# include <bits/stdc++.h>
# define IL inline
# define RG register
# define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
# define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
using namespace std;
typedef long long ll; IL int Input(){
RG char c = getchar(); RG int x = 0, z = 1;
for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) z = c == '-' ? -1 : 1;
for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);
return x * z;
} const int maxn(205);
const int maxm(1e4 + 5);
const int inf(1e9); int n, m, fa[maxn]; struct Point{
int x, y; IL Point operator -(RG Point b) const{
return (Point){x - b.x, y - b.y};
} IL Point operator +(RG Point b) const{
return (Point){x + b.x, y + b.y};
} IL int operator *(RG Point b) const{
return x * b.y - y * b.x;
} IL int operator <(RG Point b) const{
return x * y != b.x * b.y ? x * y < b.x * b.y : x < b.x;
}
} ans, mnc, mnt; struct Edge{
int u, v, w, c, t; IL int operator <(RG Edge b) const{
return w < b.w;
}
} edge[maxm]; IL int Find(RG int x){
return fa[x] == x ? x : fa[x] = Find(fa[x]);
} IL Point Kruskal(){
for(RG int i = 1; i <= n; ++i) fa[i] = i;
RG Point ret = (Point){0, 0};
sort(edge + 1, edge + m + 1);
for(RG int i = 1, t = 0; t < n - 1 && i <= m; ++i){
RG int u = Find(edge[i].u), v = Find(edge[i].v);
if(u != v) fa[u] = v, ++t, ret = ret + (Point){edge[i].c, edge[i].t};
}
ans = min(ans, ret);
return ret;
} IL void Solve(RG Point a, RG Point b){
RG int x = b.y - a.y, y = b.x - a.x;
for(RG int i = 1; i <= m; ++i) edge[i].w = y * edge[i].t - x * edge[i].c;
RG Point ret = Kruskal();
if((b - a) * (ret - a) >= 0) return;
Solve(a, ret), Solve(ret, b);
} int main(RG int argc, RG char* argv[]){
File("2395");
ans = (Point){inf, 1}, n = Input(), m = Input();
for(RG int i = 1; i <= m; ++i) edge[i] = (Edge){Input() + 1, Input() + 1, 0, Input(), Input()};
for(RG int i = 1; i <= m; ++i) edge[i].w = edge[i].c;
mnc = Kruskal();
for(RG int i = 1; i <= m; ++i) edge[i].w = edge[i].t;
mnt = Kruskal();
Solve(mnc, mnt);
printf("%d %d\n", ans.x, ans.y);
return 0;
}

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