「HNOI 2015」实验比较

\(Description\)

有\(n\)个元素,对于每个元素\(x_i\)最多知道一个形如\(x_j < x_i\)或\(x_j=x_i\)的条件,问有多少合法的序列.合法的序列满足每个元素出现一次,任一相邻两元素之间有小于号或或等于号,并且所有条件全部满足,但是对于两个序列,如果只修改相等元素的位置能使得他们一样,则是他们为同一序列,答案队\(10^9\)取模

\(n<=100\)

\(Solution\)

认真读题后可以发现:

对于每个元素\(x_i\)最多知道一个形如\(x_j<x_i\)或\(x_j=x_i\)的条件

若\(x_j=x_i\)

将\((i,j)\)合并,

若\(x_j<x_i\),

将\(j\)连向\(i\)

最后建立一个超级根节点,将这个点连向所有入读为\(0\)的点

这样就是一棵树了.

用\(f[i][j]\)表示以\(i\)为根的子树中的元素能分\(j\)段,使\(j\)段每段相等的合法序列数

首先给出转移方程:

\[f[x][i]=f'[x][j]*f[v][k]*C_{i-1}^{j-1}*C_{j-1}^{k-i+j}
\]

\(f'[x]\)表示在\(v\)之前的\(f\)值

v为x的子树

\[C_{i-1}^{j-1}*C_{j-1}^{k-i+j}
\]

上面式子表示将\(j\)段和\(k\)段合并为\(i\)段的方案数.

至于为什么?

就是\(j-1\)放在\(x\)的方案数\(*v\)剩下的段余B合并的方案数:

\(Code\)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
int read(){
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}
int c[1011][1011],f[1001][1001],siz[10011],dp[10010],head[10010],cnt;
struct node {
    int to,next;
}a[10011];
void add(int x,int y){
    a[++cnt].to=y,a[cnt].next=head[x],head[x]=cnt;
    a[++cnt].to=x,a[cnt].next=head[y],head[y]=cnt;
}
void init(){
    for(int i=0;i<=200;i++)
    c[i][i]=c[i][0]=1;
    for(int i=2;i<=200;i++)
    for(int j=1;j<i;j++)
        c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
}
void dfs(int x,int fa){
    siz[x]=f[x][1]=1;
    for(int e=head[x];e;e=a[e].next){
        int v=a[e].to;
        if(v==fa)
        continue;
        dfs(v,x);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=siz[x]+siz[v];i++)
            for(int j=1;j<=siz[x];j++)
                for(int k=1;k<=siz[v];k++){
                    int z=k-i+j;
                    if(z<0) continue;
                    (dp[i]+=f[x][j]*f[v][k]%mod*c[i-1][j-1]%mod*c[j-1][z]%mod)%=mod;
                }
        siz[x]+=siz[v];
        for(int i=1;i<=siz[x];i++)
            f[x][i]=dp[i];
    }
}
int X[100001],Y[10001],pre[10001],flag[10010],bj[10010],vis[10010],fa[10010];
int find(int x){
    return (x==pre[x])?x:pre[x]=find(pre[x]);
}
int find1(int x){
    return (x==fa[x])?x:fa[x]=find1(fa[x]);
}
void join(int x,int y){
    int fx=find(x),fy=find(y);
    if(fx!=fy)
    pre[fx]=fy,fa[fx]=fy;
}
main(){
    init();
    int n=read(),m=read(),x,y;
    char s;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        pre[i]=i,fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        X[i]=read(),scanf("%c",&s),Y[i]=read();
        if(s=='=')
            flag[i]=1,join(X[i],Y[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(!flag[i]){
            int fx=find(X[i]),fy=find(Y[i]);
            add(fx,fy),vis[fy]++;
            if(find1(X[i])==find1(Y[i]))
                puts("0"),exit(0);
            fa[find1(X[i])]=find1(Y[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        bj[find(i)]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(bj[i]&&!vis[i])
            add(n+1,i);
    dfs(n+1,0);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=siz[n+1];i++)
        ans+=f[n+1][i],ans%=mod;
    printf("%lld ",ans);
}