单源最短路：Bellman-Ford算法及证明

描述：

求图中某一点到其他任一点的最短距离。

操作：

1. 初始化

结果保存在一个dist数组里，源点的结果初始化为0，其他初始化为无穷大（如INT32_MAX）。

2. 计算：

两重for循环，第一层，迭代n - 1次（n为节点数）；

　　　　　　第二层，遍历每条边，如果其源点对应的距离加上边权重小于终点对应距离，则更新终点最短距离；

3. 判断负权环：

当步骤二计算完时，遍历左右边，看是否存在某条边(u, v)，有d[u] + w(u, v) < d[v]，即还可以更新，如存在则存在负权环。

证明：

求最短路证明：

一。假设某点与源点不连通。

由于初始化时，除了源点距离初始为0之外，其他点都初始化为无穷大，如果不连通，则某点所在的连通图的任一条边都不会导致更新。

二。假设x点与源点连通。

每个点都存在自己的最短路，为（e0, e1, e2, ..., ek）。

显然，源点只要经过n - 1条边就可到达任一点；　　（一）

现只需证明，对x点，每次迭代（松弛），至少有一条最短边ei的距离被找到，除非已经到达x点。　　（二）

　　对于第一次迭代，必定更新和源点相连的所有边（如果是有向图，则是指出去的），由于源点距离是0，和其相连的都是无穷大。

　　　　而这些往外连的边中，必有一条是x点的最短路上起始的一条边。

　　则设有点k，这个点是x最短路上的一个点，下一次松弛，必能找到下一个点，且也是x的最短路上的一个点：

　　　　由于下一次松弛将更新与k相连的所有点。

有（一）（二）可得，上面两次迭代可以找出最短路。

而关于负权环的判断：

由于负权环的存在，可以通过不断绕着走从而减小环上各个点的距离。

所以即使迭代完成，当判断是否还能更新时，会发现还是可以更新的，这就判断了存在负权环。

代码：

简单输出最短路，如果要路径可以为每个节点储存一个最后一次访问的节点，逆向遍历一遍即可得到路径。

#include <string>

#include <iostream>

#include <vector>

using namespace std;

struct Edge {

    int start;

    int end;

    int weight;

};

bool BellmanFord() {

    int source = ;

    int vex_num, edge_num;

    cout << "Input the number of vertexs and edges:" << endl;

    cin >> vex_num >> edge_num;

    vector<int> dist(vex_num, INT32_MAX);

    dist[source] = ;

    vector<Edge> e;

    for (int i = ; i < edge_num; i++) {

        Edge et;

        cin >> et.start >> et.end >> et.weight;

        e.push_back(et);

    }

    for (int i = ; i < vex_num - ; i++)

        for (int j = ; j < edge_num; j++)

            if (dist[e[j].start] + e[j].weight < dist[e[j].end] && dist[e[j].start] != INT32_MAX)

                dist[e[j].end] = dist[e[j].start] + e[j].weight;

    for (int i = 0; i < dist.size(); dist++)

        cout << dist[i] << endl;

}