关于使用lazytag的线段树两种查询方式的比较研究

说到线段树，想来大家并不陌生——最基本的思路就是将其规划成块，然后只要每次修改时维护一下即可。

但是尤其是涉及到区间修改时，lazytag的使用往往能够对于程序的质量起到决定性作用（Ex：一般JSOI2008左右的线段树题目，如果有区间修改的话，那么假如普普通通的一个个修改的话，那么一般30分左右，甚至更少；而有了神奇的lazytag，只要别的地方写的还算基本到位，一般就Accept了）

lazytag的基本思想也就是在需要修改的区间打上标记，然后下次动态维护标记和真正值之间的关系，然后查询或者下一个修改操作涉及此区间时，进行进一步维护。

于是，此时就存在两种不同的查询操作了（此处以BZOJ1798为例）

方案一：当查询过程中，遇到了带有标记的点，则将其记录下来（即并入综合的修改参数里面），然后当刚好找到合适区间是，再操作之

 function cal(z,x,y,l,r:longint;d:vet):int64;inline;
          var d1:vet;
          begin
               if l>r then exit();
               d1:=merge(b[z],d);
               if (x=l) and (y=r) then exit(((a[z]*d1.a0) mod p+(d1.a1*((r-l+) mod p)) mod p) mod p);
               exit((cal(z*,x,(x+y) div ,l,min((x+y) div ,r),d1)+cal(z*+,(x+y) div +,y,max((x+y) div +,l),r,d1)) mod p);
          end;

这个方案在操作时，实际上并没有动任何的标记，直接通过现有的标记求出了值

方案二：查询过程中遇到标记点的话，则将其扩展下去，保证一路下来都不存在标记点，然后到地方了之后直接返回数值

 function cal(z,x,y,l,r:longint):int64;inline;
          begin
               if l>r then exit();
               ext(z,x,y);
               if (x=l) and (y=r) then exit(a[z]);
               exit((cal(z*,x,(x+y) div ,l,min((x+y) div ,r))+cal(z*+,(x+y) div +,y,max((x+y) div +,l),r)) mod p);
          end;

附：ext操作和merge操作

 function merge(d1,d2:vet):vet;inline;
          var d3:vet;
          begin
               d3:=d1;
               d3.a0:=d3.a0 mod p;d3.a1:=d3.a1 mod p;
               d2.a0:=d2.a0 mod p;d2.a1:=d2.a1 mod p;
               d3.a0:=(d3.a0*d2.a0) mod p;
               d3.a1:=((d3.a1*d2.a0) mod p+d2.a1) mod p;
               exit(d3);
          end;
 procedure ext(z,x,y:longint);inline;
           begin
                a[z]:=((a[z]*b[z].a0) mod p+(b[z].a1*((y-x+) mod p)) mod p) mod p;
                b[z*]:=merge(b[z*],b[z]);
                b[z*+]:=merge(b[z*+],b[z]);
                b[z].a0:=;b[z].a1:=;
           end;

此方法比较直观，比较好想，但是看样子好多标记其实被操作了

好了，现在看下时间对比：（注：此两个程序中除了cal函数不一样其他均一样）

方案一：

方案二：（这个里面方案一的cal函数是通过{}注释掉的，所以代码会多出来那么些）

空间上差不多（phile：这不显然的么呵呵呵），时间上方案一要快，原因其实还是因为方案一并没有涉及到修改标记的操作，而方案二涉及了，而且尤其对于tag很密集的树，操作更是会较为复杂。还有方案二虽然更加直观易想，但是代码其实并没有缩减，两者代码复杂度几乎一样。所以综合而言，方案一更加划算么么哒

下面附上BZOJ1798代码

 /**************************************************************
     Problem:
     User: HansBug
     Language: Pascal
     Result: Accepted
     Time: ms
     Memory: kb
 ****************************************************************/
 
 type
     vet=record
               a0,a1:int64;
     end;
 var
    i,j,k,l,m,n,a2,a3,a4:longint;
    p:int64;
    a,c:array[..] of int64;
    b:array[..] of vet;
    d,d1:vet;
 procedure built(z,x,y:longint);inline;
           begin
                if x=y then
                   a[z]:=c[x] mod p
                else
                    begin
                         built(z*,x,(x+y) div );
                         built(z*+,(x+y) div +,y);
                         a[z]:=(a[z*]+a[z*+]) mod p;
                    end;
                b[z].a0:=;b[z].a1:=;
           end;
 function max(x,y:longint):longint;inline;
          begin
               if x>y then max:=x else max:=y;
          end;
 function min(x,y:longint):longint;inline;
          begin
               if x<y then min:=x else min:=y;
          end;
 function merge(d1,d2:vet):vet;inline;
          var d3:vet;
          begin
               d3:=d1;
               d3.a0:=d3.a0 mod p;d3.a1:=d3.a1 mod p;
               d2.a0:=d2.a0 mod p;d2.a1:=d2.a1 mod p;
               d3.a0:=(d3.a0*d2.a0) mod p;
               d3.a1:=((d3.a1*d2.a0) mod p+d2.a1) mod p;
               exit(d3);
          end;
 procedure ext(z,x,y:longint);inline;
           begin
                a[z]:=((a[z]*b[z].a0) mod p+(b[z].a1*((y-x+) mod p)) mod p) mod p;
                b[z*]:=merge(b[z*],b[z]);
                b[z*+]:=merge(b[z*+],b[z]);
                b[z].a0:=;b[z].a1:=;
           end;
 function op(z,x,y,l,r:longint;d:vet):int64;inline;
          var
             a3,a4:int64;
          begin
               if l>r then exit();
               ext(z,x,y);
               if (x=l) and (y=r) then
                  begin
                       b[z]:=d;
                       exit(((a[z]*((b[z].a0-) mod p)) mod p+(b[z].a1*((r-l+) mod p)) mod p) mod p);
                  end
               else
                   begin
                        a3:=op(z*,x,(x+y) div ,l,min(r,(x+y) div ),d);
                        a4:=op(z*+,(x+y) div +,y,max(l,(x+y) div +),r,d);
                        a[z]:=(a[z]+(a3+a4) mod p) mod p;
                        exit((a3+a4) mod p);
                   end;
          end;
 {function cal(z,x,y,l,r:longint;d:vet):int64;inline;  //方案一
          var d1:vet;
          begin
               if l>r then exit(0);
               d1:=merge(b[z],d);
               if (x=l) and (y=r) then exit(((a[z]*d1.a0) mod p+(d1.a1*((r-l+1) mod p)) mod p) mod p);
               exit((cal(z*2,x,(x+y) div 2,l,min((x+y) div 2,r),d1)+cal(z*2+1,(x+y) div 2+1,y,max((x+y) div 2+1,l),r,d1)) mod p);
          end;     }
 function cal(z,x,y,l,r:longint):int64;inline;  //方案二
          begin
               if l>r then exit();
               ext(z,x,y);
               if (x=l) and (y=r) then exit(a[z]);
               exit((cal(z*,x,(x+y) div ,l,min((x+y) div ,r))+cal(z*+,(x+y) div +,y,max((x+y) div +,l),r)) mod p);
          end;
 
 function modd(x:int64):int64;inline;
          begin
               if x>= then exit(x mod p);
               modd:=((abs(x) div p+)*p+x) mod p;
          end;
 
 begin
      readln(n,p);
      for i:= to n do read(c[i]);
      readln;
      built(,,n);
      readln(m);
      for i:= to m do
          begin
               read(j);
               case j of
                    :begin
                           readln(a2,a3,a4);
                           d.a0:=a4;d.a1:=;
                           op(,,n,a2,a3,d);
                    end;
                    :begin
                           readln(a2,a3,a4);
                           d.a0:=;d.a1:=a4;
                           op(,,n,a2,a3,d);
                    end;
                    :begin
                           readln(a2,a3);
                           writeln(modd(cal(,,n,a2,a3)));
                    end;
               end;
          end;
 end.