[BalticOI 2017] Cat in a tree

[BalticOI 2017] Cat in a tree

神仙美少女 Tweetuzki 学姐用了长剖+线段树，私以为长剖可以做到线性。

简要题意

• 给定 \(n\) 个点的树，点集 \(S\) 合法当且仅当 \(\forall u,v\in S, dis(u,v)\ge k\)。求 \(\max |S|\)。

• \(n \le 2\times 10^5\)。

题解

记 \(f_{u,i}\) 表示以 \(u\) 为根的子树中，选择的深度最浅的点深度大于等于 \(i\) 的最大点集大小。此处深度针对这一子树而言。转移考虑加入一棵子树，方程比较简单：更新 \(f_{u,j}\) 时，记 \(t = \max(j,k-j)\)（分别保证状态的合法性和答案的合法性），\(f_{u,j}\leftarrow \max(f_{u,j}+f_{v,t-1}, f_{u,t}+f_{v,j-1})\)，最后做一遍后缀 \(\max\) 即可。

注意到当 \(j \gt dep_u\) 时，\(f_{u,j}=0\)。所以转移时只需要枚举到 \(dep_v\) 即可。这启发我们使用长剖优化。

代码

注意边界细节。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int MAXN = 200010;

int n, K;
struct edge{
	int ne, to;
	edge(int N=0,int T=0):ne(N),to(T){}
}e[MAXN<<1];
int fir[MAXN], num = 0;
inline void join(int a, int b)
{
	e[++num] = edge(fir[a], b);
	fir[a] = num;
}
int buf[MAXN], *f[MAXN], *now = buf, dep[MAXN], son[MAXN], fa[MAXN];
void predfs(int u, int pa)
{
	fa[u] = pa;
	for(int i=fir[u],v;i;i=e[i].ne) if((v = e[i].to) != pa)
	{
		predfs(v, u);
		dep[u] = max(dep[u], dep[v]+1);
		if(dep[son[u]] < dep[v]) son[u] = v;
	}
	dep[u] = dep[son[u]] + 1;
}
void dfs(int u)
{
	f[u][0] = 1;
	if(son[u])
	{
		f[son[u]] = f[u] + 1;
		dfs(son[u]);
		if(K-1 < dep[son[u]]) f[u][0] += f[son[u]][K-1];
		f[u][0] = max(f[u][1], f[u][0]);
	}
	for(int i=fir[u],v;i;i=e[i].ne) if((v=e[i].to) != fa[u] && v != son[u])
	{
		f[v] = now; now += dep[v];
		dfs(v);
		for(int j=0;j<=dep[v];j++)
		{
			int k = max(j, K-j);
			f[u][j] = max(((k) ? (j<dep[u]?f[u][j]:0) + (k<=dep[v]?f[v][k-1]:0) : 0), (j ? (k<dep[u]?f[u][k]:0) + f[v][j-1] : 0));
		}
		for(int j=dep[v];~j;j--) f[u][j] = max(f[u][j], j==dep[u]-1?0:f[u][j+1]);
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&K);
	for(int i=2,x;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		join(i, ++x);
		join(x, i);
	}
	predfs(1, 0);
	f[1] = now; now += dep[1];
	dfs(1);
	printf("%d\n",f[1][0]);
	return 0;
}