LGP5204题解

@CF1327F

最小值看着有点怪，先转化成最大值吧。。。反正没啥区别。。。

考虑把最大值相同的区间和限制为这个最大值的区间都拿出来。然后离散化。问题变为让所有区间都满足最值为 \(c\)。

考虑 DP。设 \(dp[n][k]\) 表示到序列上的第 \(n\) 个位置后，上一个 \(c\) 在第 \(k\) 个位置。

设 \(L[n]\) 表示右端点为 \(n\) 的区间中，左端点最靠右的那个的左端点。如果没有就为 \(0\)。

转移：

\[dp[n][k]=[L[n]\leq k]dp[n-1][k]\times(c-1)
\]

\[dp[n][n]=\sum_{i=1}^{n-1}dp[n-1][k]
\]

可以直接令 \(dp[n]\) 继承 \(dp[n-1]\)，然后动态维护这个有值的区间。每次操作的时候只需要支持全局乘和单点加就行了。

可以通过打标记的方法将复杂度降低至期望 \(O(n)\)，具体见代码。

#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<ctime>
typedef unsigned ui;
typedef __uint128_t LL;
typedef unsigned long long ull;
const ui M=1e5+5,mod=1e9+7;
ui n,k,c[M],V[M],iV[M],cl[M];std::vector<ui>t[M],Q[M];
struct Hash_Table{
	const ui P[20]={
		110881,581551,319477,140869,307759,536729,791159,503851,614693,375127,
		450299,263429,300761,796303,397373,732731,847009,913687,435401,665201
	};
	ui mod;ull B;
	ui cnt,h[1000000];
	struct Node{
		ui V,nx;
	}t[M];
	inline void init(){
		ui id=rand()%20;
		mod=P[id];B=((LL(1)<<64)+mod-1)/mod;
	}
	inline ui Find(const ui&x){
		for(ui E=h[x-mod*ui(LL(B)*x>>64)];E;E=t[E].nx)if(t[E].V==x)return E;return-1;
	}
	inline void Insert(const ui&x){
		ui&head=h[x-mod*ui(LL(B)*x>>64)];t[++cnt]=(Node){x,head};head=cnt;
	}
}Hash;
ui L(1),R(0),q[M];
inline ui max(const ui&a,const ui&b){
	return a>b?a:b;
}
inline ui Solve(const ui&x){
	static ui L[M],q[M],p[M],dp[M],pre1[M],pre2[M];
	const ui&v=V[x]-1,&iv=iV[x],&len=t[x].size();
	for(ui id(1),i=0;i<Q[x].size();++i){
		while(id<len&&t[x][id]<Q[x][i])++id;pre1[i]=id;
	}
	for(ui id(1),i=0;i<Q[x].size();++i){
		while(id<len&&t[x][id]<=Q[x][i]+k-1)++id;pre2[i]=id-1;
	}
	for(ui i=0;i<len;++i)L[i]=q[i]=p[i]=0;
	for(ui i=0;i<Q[x].size();++i)L[pre2[i]]=max(L[pre2[i]],pre1[i]);
	ui l(0),sum(1),mul(1);dp[0]=1;
	for(ui i=1;i<len;++i){
		while(l<L[i-1]){
			while(q[l]--)mul=1ull*mul*v%mod;while(p[l]--)mul=1ull*mul*iv%mod;
			sum=(sum+1ull*(mod-mul)*dp[l++])%mod;
		}
		dp[i]=sum;sum=(1ull*sum*v+dp[i])%mod;++q[L[i-1]];++p[i];
	}
	while(l<L[len-1]){
		while(q[l]--)mul=1ull*mul*v%mod;while(p[l]--)mul=1ull*mul*iv%mod;
		sum=(sum+1ull*(mod-mul)*dp[l++])%mod;
	}
	return sum;
}
inline ui pow(ui a,ui b){
	ui ans(1);for(;b;b>>=1,a=1ull*a*a%mod)if(b&1)ans=1ull*ans*a%mod;return ans;
}
inline void swap(ui&a,ui&b){
	ui c=a;a=b;b=c;
}
inline void getinv(){
	static ui s[M],t[M];const ui&n=Hash.cnt;s[0]=1;
	for(ui i=1;i<=n;++i)t[i]=V[i]-1,s[i]=1ull*s[i-1]*t[i]%mod;s[n]=pow(s[n],mod-2);
	for(ui i=n;i>=1;--i)swap(s[i],s[i-1]),s[i]=1ull*s[i]*s[i-1]%mod,s[i-1]=1ull*s[i-1]*t[i]%mod;
	for(ui i=1;i<=n;++i)iV[i]=s[i];
}
signed main(){
	srand(time(NULL));srand(rand()*rand());
	ui ans(1);
	scanf("%u%u",&n,&k);Hash.init();
	for(ui i=1;i<=n-k+1;++i){
		scanf("%u",c+i);c[i]=1000000000-c[i]+1;
		cl[i]=Hash.Find(c[i]);
		if(!~cl[i])Hash.Insert(c[i]),V[Hash.cnt]=c[i],t[Hash.cnt].push_back(0),cl[i]=Hash.cnt;
		Q[cl[i]].push_back(i);
	}
	for(ui i=1;i<=n;++i){
		if(L<=R&&q[L]+k<=i)++L;
		if(i+k-1<=n){
			while(L<=R&&c[q[R]]>=c[i])--R;q[++R]=i;
		}
		t[cl[q[L]]].push_back(i);
	}
	getinv();
	for(ui i=1;i<=Hash.cnt;++i)ans=1ull*ans*Solve(i)%mod;printf("%u",ans);
}