CF1580E Railway Construction

CF1580E Railway Construction

铁路系统中有 \(n\) 个车站和 \(m\) 条双向边，有边权，无重边。这些双向边使得任意两个车站互相可达。

你现在要加一些单向边 \((u,v,w)\) ，\(w\) 随便定，代价是 \(a_u\) ，使得从 \(1\) 号车站出发到每个车站都有至少两条边不相交的路线，并且最短路不改变。

由于不可控因素，\(a\) 序列会受到 \(q\) 次修改，每次让 \(a_u \leftarrow a_u+x\) ，并求当前的最小代价。

\(1\le n,m,q \le 3\cdot 10^5,1\le a_i\le 10^9, 1\le x\le 4\cdot 10^8\) 。

Solution

首先从 \(1\) 出发跑最短路，显然非最短路边是无用的。因此建出最短路图，我们在 DAG 上讨论问题。

可以发现，将所有点按照 \(\text{dis}\) 排序是合法的拓扑序，而只要有一个点入度 \(\ge 2\) ，那么它已经满足要求了。

所以，问题转化为将所有入度 \(=1\) 的点新连一条边，那么肯定挑拓扑序在它之前的 \(a\) 最小的点。

因此在拓扑序上维护前缀 \(a\) 最小值和次小值的点即可，暴力复杂度 \(\mathcal O(nq)\) 。

考虑优化，我们将所有改变前缀最小/次小的位置丢进一个 set 里，显然二元组 (最小值，次小值) 构成一个个区间。倒着处理询问（即每次 \(a_u\) 变小）：

• \(u\) 是这个区间的最小值

  可以发现它对区间不会造成任何影响，只对答案产生了影响；求对答案影响的部分，可以用一棵线段树去维护；

• \(u\) 是这个区间的次小值

  注意到不同区间的次小值一定不一样（这个显然），因此只有撑死 \(1\) 个区间符合该条件，暴力修改即可；

• \(u\) 既不是这个区间的最小值，也不是次小值

  类比颜色段均摊的思想，它修改的区间端点会从 set 里 erase 掉，同时把它加进 set 里，而 set 里的端点个数总计是 \(\mathcal O(n+q)\) 的，因此直接暴力做即可。

总时间复杂度 \(\mathcal O(m\log m+(n+q)\log n)\) 。