简单数论 | Day3 部分题解

A - The Euler function 来源：HDU 2824

计算[a,b]区间内的整数的欧拉函数值，需要掌握单个欧拉函数和函数表的使用。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int MAX_N  = ;
typedef long long ll;
int phi[MAX_N];
// ll sum_phi[MAX_N];  若使用前缀和累加，会爆内存（MLE）

void phi_table(int n)
{  // 计算得到n以内的欧拉函数表，参考蓝书P121
    int i, j;
    for(i=;i<=n;i++)
        phi[i] = i;

    for(i=;i<=n;i+=)
        phi[i] /= ;

    for(i=3;i<=n;i+=)
    {
        if(phi[i]==i)
        {
            for(j=i;j<=n;j+=i)
                phi[j] = phi[j] / i * (i - );
        }
    }
}

int main()
{
    phi_table();

// for(int i=1;i<=3000000;i++)
// sum_phi[i] = sum_phi[i-1] + phi[i];

// int a, b;
// while(cin>>a>>b)
// printf("%lld\n", sum_phi[b]-sum_phi[a-1]);

int a, b;
    while(cin>>a>>b)
    {
        ll sum = ;
        for(int i=a;i<=b;i++)
            sum += phi[i];
        printf("%lld\n", sum);
    }
    return ;
}

B - Divisors  来源：POJ 2992

求组合数C(n, k)的因子个数，0 ≤ k ≤ n ≤ 431。

打表可得431以内的素数只有83个，由于C(n, k) = n!/(k!*(n-k)!) = n*(n-1)*…*(n-k+1)/k!，开始的直观想法是求出分子上的每个素数因子的总个数，再减去分母上出现的每个素数因子的总个数，正约数的个数即为(a₁+1)*(a₂+1)*…*(a_n+1)。然而多次提交优化仍然超时。。。最后参考https://www.cnblogs.com/zxhyxiao/p/8026280.html，学到了计算N!中某个素因子个数的计算方法，结合网上的做法，终于AC。

求N!中素因子p的个数，也就是N!中p的幂次

公式为：cnt=[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+...+[n/p^k]

核心代码：

int cnt = 0;
while(N)
{
　　cnt += N/p;
　　N /= p;
}

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

int p[], cnt, num[];
bool notprime[];

void prime_table(int n)
{ // 筛素数
　　notprime[] = notprime[] = ;
　　int i, j;
　　for(i=;i<=n;i++)
　　{
　　　　if(!notprime[i])
           {
                num[i] = cnt;
                p[cnt++] = i;
           }  

　　　　for(j=;j<cnt && i*p[j]<n;j++)
　　　　{
　　　　　　notprime[i*p[j]] = ;
　　　　　　if(i%p[j]==) break;
　　　　}
　　}
}

int main()
{

    prime_table();
//    for(int i=0;i<cnt;i++) cout<<p[i]<<endl;
//    cout<<cnt<<endl;
    int n, k;
    while(scanf("%d %d", &n, &k)!=EOF)
    {
        long long ans = ;
        for(int i=;i<cnt && p[i]<=n;i++)
        {
            int N = n, cnt = ;
            while(N)
            {
                cnt += N/p[i];
                N /= p[i];
            }
            N = k;
            while(N)
            {
                cnt -= N/p[i];
                N /= p[i];
            }
            N = n-k;
            while(N)
            {
                cnt -= N/p[i];
                N /= p[i];
            }
            ans *= (cnt+);
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return ;
}

C - Longge's problem 来源：POJ 2480

计算∑gcd(i, N), 1<=i<=N

简单推导可得所求结果为∑i*phi(n/i), i|n.由于n的上限太大(1e18)，书上打表的办法失效，一时陷入困境。再次百度参考https://www.cnblogs.com/flipped/p/5690123.html才茅塞顿开，直接采用O(√n)求单个欧拉函数值。需要特别注意注释处，最开始好几次TLE都是因为i*i结果为int类型溢出变为负数，出现了死循环。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll euler(int x)
{  // 计算欧拉函数phi(x)
    int res=x, m = (int)sqrt(x+0.5);
    for(int i=; i<=m; i++)
        if(x%i==)
        {
            res = res/i*(i-);
            while(x%i==) x/=i;
        }
    if(x>) res = res/x*(x-);
    return res;
}

int main()
{
    ll n, ans;
    while(scanf("%lld", &n)!=EOF)
    {
        ans = ;
        int i;
        for(i=;i<n/i;i++)  // for(i=1;(ll)i*i<n;i++)
        {
            if(n%i==)  ans += i*euler(n/i) + n/i*euler(i);
        }
        if(i*i==n)  ans += i*euler(i);
        printf("%lld\n", ans);
    }
}

E - Happy 2006 来源：POJ 2773

计算与m互质的第K大的正整数，m (1 <= m <= 1000000), K (1 <= K <= 100000000)

直接上AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int gcd(int a,int b)
{
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

int euler(int x)
{
    int res=x, m = (int)sqrt(x+0.5);
    for(int i=; i<=m; i++)
        if(x%i==)
        {
            res = res/i*(i-);
            while(x%i==) x/=i;
        }
    if(x>) res = res/x*(x-);
    return res;
}

int main()
{
    int m, k;
    while(scanf("%d %d", &m, &k)!=EOF)
    {
        int sum = euler(m);
        int t = k % sum, tt = , i;
        if(t==) t = sum;   //注意整除的处理
        for(i=;i<m;i++)
        {
            if(gcd(i, m)==) tt++;
            if(tt==t)  break;
        }

        printf("%d\n", i+(k-)/sum*m);
    }
}

貌似以上做法的欧拉函数显得多余，直接用gcd判断m以内全部互质的整数，总个数即为sum。

D - GCD & LCM Inverse  来源：POJ 2429

最后AC的D题，参考了网上用dfs得到数组中最接近sqrt(N)的部分元素之积。晚上讲题解时滕佬指明一定要用Miller Rabin算法，直接在其模板基础上修改而来。代码十分长而且显得有些杂乱，日后再做整理吧~~

#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll box[];
ll N, T, num;

ll min(ll a , ll b)
{
    return (a < b) ? a : b;
}

ll gcd(ll a , ll b)
{
    while(b)
    {
        ll t = a;
        a = b;
        b = t % b;
    }

    return a;
}

ll tim(ll a , ll b , ll mo)
{
    a %= mo;
    b %= mo;

    ll ans = ;

    while(b)
    {
        if(b & )
        {
            ans += a;
            if(ans > mo)
                ans -= mo;
        }

        b >>= ;
        a <<= ;

        if(a > mo)
            a -= mo;
    }

    return ans;
} 

ll po(ll x , ll n , ll mo)
{
    x %= mo;
    ll ans = ;

    while(n)
    {
        if(n & )
            ans = tim(ans , x , mo);

        x = tim(x , x , mo);
        n >>= ;
    }

    return ans;
}

bool tes(ll n , ll d , ll t , ll mo)
{

    ll y = po(t , n , mo);

    ll i;
    for(i =  ; i < d ; i++)
    {
        ll no = tim(y , y , mo);

        if(y != mo -  && y !=  && no == )
        {
            return false;
        }

        y = no;
    }

    if(y != )
    {
        return false;
    }

    return true;
}

bool MR(ll n)
{
    if(n < )
        return false;

    if(n ==  || n == )
        return true;

    if((n & ) ==  || n %  == )
        return false;

    ll b = n - , t = ;

    while((b & ) == )
    {
        b >>= ;
        t++;
    }

    ll i, ty[] = { ,  ,  ,  ,  ,  ,  , };

    for(i =  ; i <  ; i++)
    {
        if(!tes(b , t , ty[i] , n) && ty[i] < n)
        {
            return false;
        }
    }

    return true;
}

ll Ro(ll n , ll c)
{
    srand(time(NULL));
    ll x0 = rand() % (n - ) + ;

    ll x = x0, y = x0, k = , i = , d = ;

    while(d == )
    {
        k++;
        x = (tim(x , x , n) + c) % n;

        d = gcd(- * min(x - y , y - x) , n);

        if(d >  && d < n)
            return d;

        if(d == n)
            return -;

        if(k == i)
        {
            y = x;
            i <<= ;
        }
    }
}

void fj(ll n)
{
    if(n == )
        return;

    if(MR(n))
    {
        box[num++] = n;
        return;
    }

    ll p = -, c = ;

    while(p == -)
        p = Ro(n , c--);

    fj(n / p);
    fj(p);
}

ll fact[], common;
int cnt = ;
void dfs(ll now, int n)
{
    if(now>sqrt(N))  return;
    common = max(common, now);

    for(int i=n;i<=cnt;i++)  dfs(now*fact[i], i+);
}

int main()
{

    ll lcm, gcd;
    while(scanf("%lld %lld", &gcd, &lcm)!=EOF)
    {
        N = lcm / gcd;

        MR(N);
        num = ;
        fj(N);

        sort(box, box+num);
//        for(int i=0;i<num;i++)
//            printf("%lld\n", box[i]);

        cnt = ;
        for(int i=;i<;i++)  fact[i] = ;
        fact[] = box[];
        for(int i=;i<num;i++)
        {
            if(box[i]==box[i-])  fact[cnt] *= box[i];
            else  fact[++cnt] = box[i];
        }
        //for(int i=0;i<=cnt;i++)  printf("%lld\n", fact[i]);

        common = ;
        dfs(, );
        printf("%lld %lld\n", common*gcd, lcm/common*gcd);
    }

    return ;
}

END.