优先队列

普通的队列是一种先进先出的数据结构,元素在队列尾追加,而从队列头删除。在优先队列中,元素被赋予优先级。当访问元素时,具有最高优先级的元素最先删除。优先队列具有最高级先出 (first in, largest out)的行为特征。通常采用堆数据结构来实现。

​ 堆(英语:heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。堆总是满足下列性质:

  • 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值;
  • 堆总是一棵完全二叉树。

堆的实现通过构造二叉堆(binary heap),实为二叉树的一种;由于其应用的普遍性,当不加限定时,均指该数据结构的这种实现。这种数据结构具有以下性质。

  • 任意节点小于(或大于)它的所有后裔,最小元(或最大元)在堆的根上(堆序性)。
  • 堆总是一棵完全树。即除了最底层,其他层的节点都被元素填满,且最底层尽可能地从左到右填入。

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆,根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

我们这里讲的是二叉堆。

堆的入队和出队的时间复杂度都是O(log n)



上图就是一个最大堆的事例

下面我们使用数组来构建一个最大堆,在这里为了便于理解,数组索引为0的节点不存放数值,从第二个节点开始存放数据。

当前节点的父节点、左孩子、右孩子的索引就会有如下的关系:

  • 父节点的索引:index/2 (index为当前节点的索引)
  • 左孩子的索引:index*2
  • 右孩子的索引:index*2+1

如果从数组的第一个节点开始存放数据的话,当前节点的父节点、左孩子、右孩子的索引就会有如下的关系:

  • 父节点的索引:(index-1)/2 (index为当前节点的索引)

  • 左孩子的索引:index*2+1

  • 右孩子的索引:index*2+2

最大堆的基础架构
import java.util.ArrayList;
public class MaxHeap<E extends Comparable<E>> { //这里使用数组来实现
private ArrayList<E> data; public MaxHeap(int capacity) {
data = new ArrayList<>(capacity);
} public MaxHeap() {
data = new ArrayList<>();
} //返回堆中元素的个数
public int getSize() {
return data.size();
} //判断堆是否为空
public boolean isEmpty() {
return data.isEmpty();
} //返回完全二叉树中索引为index的节点的父节点的索引
private int parent(int index) {
if (index == 0)
throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn't have parent"); return (index - 1) / 2;
} //返回完全二叉树中索引为index的节点的左孩子的索引
private int leftChild(int index) {
return index * 2 + 1;
} //返回完全二叉树中索引为index的节点的右孩子的索引
private int rightChild(int index) {
return index * 2 + 2;
} //交换索引为i、j的值
private void swap(int i, int j) {
E t = data.get(i);
data.set(i, data.get(j));
data.set(j, t);
}
}
往堆中添加元素
  • 再向堆中添加元素时,除了要维持完全二叉树的结构,还要注意堆的约束条件:根节点的值要大于左右子树的值。

在这里因为我们使用数组来实现的堆,所以添加元素时,我们可以先将元素添加到数组的末尾,然后循环的与父节点比较大小,比父节点大就与父节点交换位置,之后就继续与新的父节点比较大小,直到小于等于父节点。

  • 如上图所示,我们要在这个堆中添加一个元素36

  • 先将元素添加到数组的末尾。

  • 然后通过当前的索引计算出父节点的索引,通过索引得到父节点的值16,通过比较新添加的节点比其父节点大,所以将新添加的值与父节点交换在数组中的位置。之后再与新的父节点41比较,36<41,结束操作。
添加元素的代码实现
//向堆中添加元素
public void add(E e) {
data.add(e);
siftUp(data.size() - 1);
} private void siftUp(int k) {
//k不能是根节点,并且k的值要比父节点的值大
while (k > 0 && data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0) {
swap(k, parent(k)); k = parent(k);
}
}
删除堆顶元素

删除堆顶元素要注意维持堆的特殊性质。这里举个例子。

  • 要将这个堆中删除最大值,也就是堆顶元素62,先将62取出。

  • 将堆顶元素和堆的最后一个元素互换,也就是数组的首尾元素互换。

  • 删除最后一个元素,也就是堆中的最大值

  • 将当前的堆顶元素16的左右孩子41、30进行比较,找出最大的一个41,再与根节点16进行比较,左孩子41比根节点16大,所以将根节点与其左孩子互换,如上图所示。
  • 重复上面的操作,直到当前节点的值大于其左右子树。过程如下所示。

删除堆顶元素的代码实现
//看堆中最大的元素
public E findMax() {
if (data.size() == 0)
throw new IllegalArgumentException("Can not findMax when heap is empty");
return data.get(0);
} //取出堆中最大的元素
public E extractMax() {
E ret = findMax(); swap(0, data.size() - 1);
data.remove(data.size() - 1);
siftDown(0); return ret;
} private void siftDown(int k) {
//leftChild存在
while (leftChild(k) < data.size()) {
int j = leftChild(k);
//rightChild存在,且值大于leftChild的值
if (j + 1 < data.size() &&
data.get(j).compareTo(data.get(j + 1)) < 0)
j = rightChild(k);
//data[j]是leftChild和rightChild中最大的 if (data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0)
break; swap(k, j);
k = j;
} }

Replace操作

Replace是指将堆中的最大元素取出,替换另一个进去。

自然地我们会想到使用之前的extractMax()和add()来实现,但是这样的时间复杂度将会是两次的O(log n),因此我们可以直接将堆顶元素替换以后执行sift down操作,这样时间复杂度就只有O(log n)。

Replace代码实现
//取出堆中最大的元素,替换为元素e
public E replace(E e){
E ret = findMax(); data.set(0, e);
siftDown(0); return ret;
}

Heapify操作

Heapify是指将数组转化为堆

这里我们先将数组直接看成是一个完全二叉树,然后找到这棵二叉树的最后一个非叶子节点的节点,也就是该树的最后一个节点的父节点。然后从这个节点开始到根节点结束,执行sift down操作。

这样的时间复杂度为O(n)

Heapify代码实现
//heapify操作:将数组转化为堆
public MaxHeap(E[] arrs) {
data = new ArrayList<>(Arrays.asList(arrs));
for (int i = parent(data.size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}

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