P4844 LJJ爱数数

题目

P4844 LJJ爱数数

本想找到莫比乌斯反演水题练练，结果直接用了两个多小时才做完

做法

\(\sum\limits_{a=1}^n\sum\limits_{b=1}^n\sum\limits_{c=1}^n[gcd(a,b,c)=1\&\&\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}]\)

\([gcd(a,b,c)=1]\)这个好理解，但后面\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)怎么办呢？

下意识去掉分数：\((a+b)c=ab\)

设\(g=gcd(a,b),A=\frac{a}{g},B=\frac{b}{g}\)

原式化为：\((A+B)c=ABg\)

\(\therefore \frac{(A+B)c}{g}=AB\)，\(g\)要整除\((A+B)c\)

由于\(gcd(a,b,c)=1\)，\(g\)不整除\(c\)，所以\(g\)整除\(A+B\)

\(\therefore \frac{A+B}{g}=\frac{AB}{c}\)，设\(p=\frac{A+B}{g}=\frac{AB}{c}\)

\(c=\frac{A+B}{g} \Longrightarrow p\)整除同时整除\(A,B\)

\(g=gcd(a,b),A=\frac{a}{g},B=\frac{b}{g} \Longrightarrow A,B\)互质

\(\therefore p=1\)

\(\therefore A+B=g \Longrightarrow a+b=g^2,c=AB \Longrightarrow c=\frac{ab}{g^2}\)

接下来就好做了嘛，由于\(c=\frac{ab}{g^2}\)的限制，g的上限瞬间就特别小了，所以我们枚举\(g\)

\[\begin{aligned}
Ans & =\sum\limits_{g=1}^{\sqrt {2n}}\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{g}}[gcd(ig,g^2-ig)=g]\\
&=\sum\limits_{g=1}^{\sqrt {2n}}\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{g}}[gcd(i,g-i)=1]\\
&=\sum\limits_{g=1}^{\sqrt {2n}}\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{g}}[gcd(i,g)=1]\\
\end{aligned}\]

其实前面\(i\)的范围并不精确：\(1<=g^2-ig<=n \Longrightarrow g-\frac{n}{g}<=i<=g-1\)

再结合之前的范围：\(max(1,g-\frac{n}{g})<=i<=min(g-1,\frac{n}{d})\)

原式变为：$$\sum\limits_{g=1}^{{\sqrt{2n}}\sum\limits_{i=max(1,g-\frac{n}{g})}}{min(g-1,\frac{n}{d})}[gcd(i,g)=1]$$

后半部分就是喜闻乐见的莫比乌斯反演了：

\[\begin{aligned}
\sum\limits_{i=1}^k[gcd(i,g)=1]&=\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j|gcd(i,g)}\mu(j)\\
&=\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^g\mu(j)[j|g][j|]\\
&=\sum\limits_{j|g}\mu(j)\frac{k}{j}\\
\end{aligned}\]

My complete code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=15000000;
inline LL Read(){
	LL x(0),f(1); char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){
		if(c=='-') f=-1; c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9')
	    x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
int mu[maxn],prime[maxn];
bool visit[maxn];
inline void F_phi(int N){
	mu[1]=1; int tot(0);
	for(int i=2;i<=N;++i){
		if(!visit[i])
			prime[++tot]=i,
			mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=N;++j){
			visit[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0)
			    break;
			else
				mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
}
LL Up;
int n;
struct node{
	int val,next;
}dis[maxn];
int num;
int head[maxn];
inline void Add(int u,int val){
	dis[++num]=(node){val,head[u]},head[u]=num;
}
inline LL Get(int d,int k){
	LL ret(0);
	for(int i=head[d];i&&abs(dis[i].val)<=k;i=dis[i].next)
	    ret+=k/dis[i].val;
	return ret;
}
int main(){
	Up=Read();
	n=sqrt(2*Up);
	F_phi(n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	    for(int j=1;1ll*j*i<=1ll*n;++j)
	        if(mu[j])
	            Add(i*j,mu[j]*j);
	LL ans(0);
	for(int g=1,l,r;g<=n;++g){
		l=max(1ll*1,g-Up/g),r=min(1ll*(g-1),Up/g);
		ans+=Get(g,r)-Get(g,l-1);
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}