AHOI 2009 中国象棋

题面

题目描述

这次小可可想解决的难题和中国象棋有关，在一个N行M列的棋盘上，让你放若干个炮（可以是0个），使得没有一个炮可以攻击到另一个炮，请问有多少种放置方法。大家肯定很清楚，在中国象棋中炮的行走方式是：一个炮攻击到另一个炮，当且仅当它们在同一行或同一列中，且它们之间恰好有一个棋子。你也来和小可可一起锻炼一下思维吧！

输入输出格式

输入格式：

一行包含两个整数N，M，之间由一个空格隔开。

输出格式：

总共的方案数，由于该值可能很大，只需给出方案数模9999973的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

1 3

输出样例#1：

说明

样例说明

除了3个格子里都塞满了炮以外，其它方案都是可行的，所以一共有222-1=7种方案。

数据范围

100%的数据中N和M均不超过100

50%的数据中N和M至少有一个数不超过8

30%的数据中N和M均不超过6

Solution

乍看到这题, 真的没什么思路.

找到的比较靠谱的解法是这样的: 我们从上往下一行一行放置棋子, 用f[i][j][k]表示在前$i$行中, $j$列上有$1$个棋子, $k$列上有$2$个棋子的合法方案数. 考虑怎么转移: 开始时我考虑的是递归式, 发现式子的形式非常复杂, 有许多细节需要考虑, 因此改为递推式.

考虑在已经放置好的前$i$列的基础上, 在第$i + 1$列上放棋子. 我们可以在这一行上放$0$或$1$或$2$颗棋子, 并且要求这些棋子所在的列原来最多只能有$1$颗棋子. 暴力转移即可. 时间复杂度: $O(nm^2)$.

#include <cstdio>
#include <cstring>
typedef long long LL;
const int N = 100, M = 100, MOD = 9999973;
int n, m;
int f[N + 7][M + 7][M + 7];
inline void plus(int &a, LL b) { a = (a + b) % MOD; }
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	memset(f, 0, sizeof f);
	f[0][0][0] = 1;
	for (int i = 0; i < n; ++ i) for (int j = 0; j <= m; ++ j) for (int k = 0; k <= m; ++ k) if (f[i][j][k])
	{
/*		f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
		if (j) plus(f[i][j][k], (LL)f[i - 1][j - 1][k] * (m - j - k + 1));
		if (k) plus(f[i][j][k - 1], (LL)f[i - 1][j + 1][k - 1] * (j + 1));
		if (j >= 2) plus(f[i][j - 2][k], (LL)f[i - 1][j - 2][k] * (m - j - k + 2) * (m - j - k + 1) / 2);
		if (k >= 2) plus(f[i][j][k], (LL)f[i - 1][j + 2][k - 2] * (j + 2) * (j + 1) / 2);
		if (j && k) plus(f[i][j][k], (LL)f[i - 1][j][k - 1] * (m - j - k + 1) * j); */
		plus(f[i + 1][j][k], f[i][j][k]);
		if (j + k < m) plus(f[i + 1][j + 1][k], (LL)f[i][j][k] * (m - j - k));
		if (j) plus(f[i + 1][j - 1][k + 1], (LL)f[i][j][k] * j);
		if (j + k <= m - 2) plus(f[i + 1][j + 2][k], (LL)f[i][j][k] * (m - j - k) * (m - j - k - 1) / 2);
		if (j >= 2) plus(f[i + 1][j - 2][k + 2], (LL)f[i][j][k] * j * (j - 1) / 2);
		if (j + k < m && j) plus(f[i + 1][j][k + 1], (LL)f[i][j][k] * (m - j - k) * j);
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= m; ++ i) for (int j = 0; j <= m; ++ j) plus(ans, f[n][i][j]);
	printf("%d\n", ans);
}