[HAOI2007]修筑绿化带 题解

题意分析

给出一个 $m*n$ 的矩阵 $A$ ，要求从中选出一个 $a*b$ 的矩阵 $B$ ，再从矩阵 $B$ 中选出一个 $c*d$ 的矩阵 $C$ ，要求矩阵 $B,C$ 的边界不能重合，求矩阵 $C$ 在矩阵 $B$ 中的补集的权值和的最大值。

思路分析

通过分析题目后可以发现本题可以用二维单调队列进行求解，同时利用到了二维前缀和。即先对其中一维进行求解，然后再求解另一维。

具体实现

1. 预处理二维前缀和

设 $suml_{i,j}$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的矩形 $B$ 的权值和， $sums_{i,j}$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的矩形 $C$ 的权值和，$sum_{i,j}$ 表示 $(i,j)$ 的二维前缀和。递推式显然，就不赘述了。

2. 利用单调队列求解列的答案

设 $f1_{i,j}$ 表示以 $(i,j-b+d+1\sim j-1)$ 为右下角的矩阵 $C$ 中权值和的最大的矩阵，则对于每个 $j$ ，有：

• 从队头排除过时决策
• 若能构成矩阵 $B$ ，即 $j\geq b$，则队头为当前答案
• 从队尾排除无用决策
• 从队尾插入当前决策

3. 利用单调队列求解列的答案

设 $f2_{i,j}$ 表示以 $(i-a+c+1\sim i,j-b+d+1\sim j-1)$ 为右下角的矩阵 $C$ 中权值和的最大的矩阵，求解过程与上步类似，就不赘述了。

4. 遍历一遍找出答案

此时 $suml_{i,j}-f2_{i,j}$ 就是以 $(i,j)$ 为右下角的矩阵 $B$ 的答案，遍历所有矩阵 $B$ ，找出最大值即可。

有一个需要注意的点，矩阵 $B,C$ 的边界不能重合，在递推的时候下标需要注意。举例：$(c,d)$ 不能作为决策和答案，$(c+1,d+1)$ 只能作为决策而不能作为答案。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1100;
int m,n,a,b,c,d,ans;
int s[N][N],sum[N][N],suml[N][N],sums[N][N],f1[N][N],f2[N][N];
deque<int> q;
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d%d",&m,&n,&a,&b,&c,&d);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&s[i][j]),sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+s[i][j];//递推二维前缀和
    for(int i=a;i<=m;i++)
        for(int j=b;j<=n;j++)
            suml[i][j]=sum[i][j]-sum[i-a][j]-sum[i][j-b]+sum[i-a][j-b];
    for(int i=c+1;i<=m;i++)
        for(int j=d+1;j<=n;j++)
            sums[i][j]=sum[i][j]-sum[i-c][j]-sum[i][j-d]+sum[i-c][j-d];//预处理
    for(int i=c+1;i<=m;i++)
    {
        q.clear();q.push_back(d+1);
        for(int j=d+2;j<=n;j++)
        {
            while(q.size() && q.front()<j-b+d+1)
                q.pop_front();
            if(j>=b)
                f1[i][j]=sums[i][q.front()];
            while(q.size() && sums[i][q.back()]>=sums[i][j])
                q.pop_back();
            q.push_back(j);
        }
    }//求解第一维
    for(int j=b;j<=n;j++)
    {
        q.clear();q.push_back(c+1);
        for(int i=c+2;i<=m;i++)
        {
            while(q.size() && q.front()<i-a+c+1)
                q.pop_front();
            if(i>=a)
                f2[i][j]=f1[q.front()][j];
            while(q.size() && f1[q.back()][j]>=f1[i][j])
                q.pop_back();
            q.push_back(i);
        }
    }//求解第二维
    for(int i=a;i<=m;i++)
        for(int j=b;j<=n;j++)
            ans=max(ans,suml[i][j]-f2[i][j]); //找出答案
    printf("%d",ans);
    return 0;
}