[九省联考2018]林克卡特树(DP+wqs二分)

对于k=0和k=1的点，可以直接求树的直径。

然后对于60分，有一个重要的转化：就是求在树中找出k+1条点不相交的链后的最大连续边权和。

这个DP就好。$O(nk^2)$

然后我们完全不可以想到，将best[k]（选择k条链的答案）打表输出，更不可能然后作差分，发现得到的数组是递减的。

这说明：best[k]是一个上凸包。

于是我们可以二分一个斜率去切这个凸包（类似导数），根据切点横坐标与k的大小旋转直线（改变斜率）。

考虑给你一个直线斜率k，怎么找到它和凸包的切点。实际上就相当于将这个凸函数减去y=kx，再求凸包最高点。

感性理解一下，就是相当于在凸包下面画一条直线，然后旋转整个坐标系使这条直线就是x轴，然后正确性就比较显然了。

现在问题就是，如何找到最高点，这成了一个最优性问题，DP方程里可以去掉一维（已选链数不需要记录了）。

这样就可以通过了，复杂度$O(kn\log n)$。这又叫WQS二分。

https://www.luogu.org/problemnew/solution/P4383

https://blog.csdn.net/izumi_hanako/article/details/80071419

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 typedef long long ll;
 using namespace std;

 const int N=;
 int n,k,u,v,w,cnt,to[N<<],nxt[N<<],val[N<<],h[N];
 ll mid,tot;
 void add(int u,int v,int w){ to[++cnt]=v; val[cnt]=w; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; }
 struct P{
     ll x,y;
     bool operator < (const P &b) const {return x==b.x? y>b.y : x<b.x;}
     P operator + (const P &b) const {return (P){x+b.x,y+b.y};}
     P operator + (int b) {return (P){x+b,y};}
 }dp[][N];
 P upd(P a){ return (P){a.x-mid,a.y+}; }

 void dfs(int u,int fa){
     dp[][u]=max(dp[][u],(P){-mid,});
     for (int i=h[u],v; i; i=nxt[i])
         if ((v=to[i])!=fa){
             dfs(v,u);
             dp[][u]=max(dp[][u]+dp[][v],upd(dp[][u]+dp[][v]+val[i]));
             dp[][u]=max(dp[][u]+dp[][v],dp[][u]+dp[][v]+val[i]);
             dp[][u]=dp[][u]+dp[][v];
         }
     dp[][u]=max(dp[][u],max(upd(dp[][u]),dp[][u]));
 }

 int main(){
     freopen("lct.in","r",stdin);
     freopen("lct.out","w",stdout);
     scanf("%d%d",&n,&k); k++;
     rep(i,,n) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),tot+=abs(w),add(u,v,w),add(v,u,w);
     ll L=-tot,R=tot;
     while (L<=R){
         mid=(L+R)>>; memset(dp,,sizeof(dp)); dfs(,);
         if (dp[][].y<=k) R=mid-; else L=mid+;
     }
     memset(dp,,sizeof(dp)); mid=L; dfs(,); printf("%lld\n",L*k+dp[][].x);
     return ;
 }