【洛谷5292】[HNOI2019] 校园旅行（思维DP）

大致题意： 给你一张无向图，每个点权值为$0$或$1$，多组询问两点之间是否存在一条回文路径。

暴力$DP$

首先，看到$n$如此之小（$n\le5000$），便容易想到一个$O(m^2)$的暴力$DP$。

我们用$f_{i,j}$表示$i$与$j$两点之间是否存在一条回文路径。

初始化，$f_{i,i}=1,f_{i,j}=1(s_i=s_j)$，即分别预处理最短的奇数长度回文路径和偶数长度回文路径。

然后我们把所有$f_{i,j}=1$的点对$(i,j)$扔入一个队列里，用类似于$BFS$的方式，每次枚举$i$的一个相邻节点$x$与$j$的一个相邻节点$y$，如果$s_x=s_y$，则显然存在一条回文路径$x->i->j->y$，因此更新$f_{x,y}=1$并将$(x,y)$扔入队列里。

这里要加上一个很显然的优化，即如果$f_{x,y}$原本就为$1$，我们就不进行操作。

这样每组点对最多被枚举一次，这里的时间复杂度是$O(n^2)$。

但枚举相邻节点时要同时枚举两条边，因此复杂度就变成了$O(m^2)$。

不难发现，这个算法时间复杂度的瓶颈就在于枚举两条边这里，因此我们需要考虑对这个地方进行优化。

奇偶性与二分图性质

我们先考虑只在同色点之间连边。

考虑到每条边可以重复多次，也就是说，我们在转移时如果在一条边上无限走，则可以无限刷长度。

但是，我们无限刷长度不一定能改变奇偶性。

不过，我们至少可以得出一个结论，在$DP$转移时，只要是奇偶性相同的一段同色路径，我们就可以进行转移。

那么什么时候奇偶性不同也可以转移呢？

这时候就要借助二分图的定义来求解了。

考虑先判断当前图是否是二分图，这只需要$DFS$给相邻点染不同颜色，出现矛盾就说明不是二分图，否则是二分图。

而二分图有个性质，即可以将图中点集划分成两部分，其中同一部分的点之间没有边。

也就是说，从一个点出发，必然要沿着这一个点集$->$另一个点集$->$这一个点集$->$另一个点集$->...->$这一个点集这样的路径走才能走回到该点，则经过边数为偶数，无法改变奇偶性。

否则，图中必然存在奇环，而通过奇环就可以改变奇偶性了。

大力删边

所以我们前面讲了这么多是要干什么呢？就是为了删掉图中的一些边，使边数变成$O(n)$规模。

我们要明白二分图的另一个性质，即二分图的一棵生成树也满足二分图性质，无法改变奇偶性。

因此，对于每一个是二分图的同色连通块，我们就可以只保留一棵生成树。

而对于不是二分图的连通块，其实我们也可以先取一棵生成树，然后只要给这张图中任意一个节点加上一个自环，这样也可以改变奇偶性，与原连通块是等价的。

而对于只在异色点之间连边，也有类似的规律，而且我们可以发现它必定是二分图（将点集按颜色划分成两个点集），可以直接保留生成树。

于是点一下就少了很多，可以直接按前面的暴力$DP$来搞了！

这时边数是$O(n)$，所以时间复杂度也就是$O(n^2)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>

#define Tp template<typename Ty>

#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>

#define Reg register

#define RI Reg int

#define Con const

#define CI Con int&

#define I inline

#define W while

#define N 5000

#define M 500000

#define mp make_pair

#define fir first

#define sec second

#define add(x,y) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].to=y)

using namespace std;

int n,m,ee,H,T,lnk[N+5],f[N+5][N+5];string s;

struct edge {int to,nxt;}e[(M<<1)+5];

typedef pair<int,int> Pr;Pr q[N*N+5];

class FastIO

{

	private:

		#define FS 100000

		#define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)

		#define tn (x<<3)+(x<<1)

		#define D isdigit(c=tc())

		char c,*A,*B,FI[FS];

	public:

		I FastIO() {A=B=FI;}

		Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=tn+(c&15),D);}

		Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}

		I void reads(string& x) {x="";W(isspace(c=tc()));W(x+=c,!isspace(c=tc())&&~c);}

}F;

class GraphBuilder//建新图

{

	private:

		#define nadd(x,y) (ne[++nee].nxt=nlnk[x],ne[nlnk[x]=nee].to=y)//建新边

		int nee,t,col[N+5];

		I void Travel(CI x,CI op)//扫一遍连通块（op表示只能在同色/异色点间连边），建好生成树，同时判断是否为二分图

		{

			for(RI i=lnk[x];i;i=e[i].nxt) (s[x-1]==s[e[i].to-1])==op&&

			(

				col[e[i].to]?(col[x]==col[e[i].to]&&(t=0))//如果产生矛盾说明不是二分图

				:(col[e[i].to]=3-col[x],Travel(e[i].to,op),nadd(x,e[i].to),nadd(e[i].to,x))//给相邻点染上不同颜色

			);

		}

	public:

		int nlnk[N+5];edge ne[(M<<1)+5];

		I void Build()//建图

		{

			#define Clear() for(i=1;i<=n;++i) col[i]=0

			RI i;Clear();for(i=1;i<=n;++i) !col[i]&&(col[i]=t=1,Travel(i,1),!t&&nadd(i,i));//对于非二分图建一个自环

			Clear();for(i=1;i<=n;++i) !col[i]&&(col[i]=1,Travel(i,0),0);

		}

}G;

#define Push(x,y) (q[++T]=mp(x,y),f[x][y]=f[y][x]=1)

I void DP()//动态规划

{

	RI i,j;Pr k;W(H<=T) for(i=G.nlnk[(k=q[H++]).fir];i;i=G.ne[i].nxt)//枚第一个点的相邻节点

		for(j=G.nlnk[k.sec];j;j=G.ne[j].nxt) s[G.ne[i].to-1]==s[G.ne[j].to-1]&&//枚第二个点的相邻节点

			!f[G.ne[i].to][G.ne[j].to]&&Push(G.ne[i].to,G.ne[j].to);//扔入队列中

}

int main()

{

	RI Qtot,i,x,y;for(F.read(n,m,Qtot),F.reads(s),i=1;i<=m;++i)//读入数据

		F.read(x,y),add(x,y),add(y,x),s[x-1]==s[y-1]&&Push(x,y);//初始化队列

	for(G.Build(),i=1;i<=n;++i) Push(i,i);DP();//建新图，初始化队列，然后DP

	W(Qtot--) F.read(x,y),puts(f[x][y]?"YES":"NO");return 0;//对于每个询问输出答案

}