【题解】洛谷P3200 [HNOI2009] 有趣的数列（卡特兰数+质因数分解）

洛谷P3200：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3200

思路

这题明显是卡特兰数的题型咯

一看精度有点大

如果递推卡特兰数公式要到O(n²)

可以证明得出分子可以把分母约到只剩1

那我们就可以用分解质因数的方法 把分子分母全都质因数分解

再把分母约掉 就可以直接把分子剩下的质因数乘起来即可

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define maxn 200000020
ll n,P,ans=;
int p[maxn/],v[maxn/],z[maxn];
void primes(ll n)
{
    ll k=;
    for(ll i=;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            v[i]=i;
            p[++k]=i;
        }
        for(ll j=;j<=k;j++)
        {
            if(p[j]>v[i]||p[j]*i>n) break;
            v[i*p[j]]=p[j];
        }
    }
}
ll quickpow(ll a,ll b)
{
    ll ret=;
    while(b)
    {
        if(b%==)
        ret=ret*a%P;
        a=a*a%P;
        b/=;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&P);
    primes(*n);//建立素数表和每个数的最小因子
    for(ll i=*n;i>=n+;i--)//把分子质因数分解
    {
        ll k=i;
        while(k>)
        {
            z[v[k]]++;//这个质数的指数加1
            k/=v[k];
        }
    }
    for(ll i=;i<=n;i++)//把分母质因数分解
    {
        ll k=i;
        while(k>)
        {
            z[v[k]]--;//约掉分子分母相同的质数
            k/=v[k];
        }
    }
    for(ll i=;i<=*n;i++)
    ans=(ans*quickpow(i,z[i]))%P;//把剩下的所有数相乘
    printf("%lld",ans);
}