Codeforces 1109D: generalizations of Cayley's formula证明

做这题的时候发现题解里有提到\(generalizations\ of\ Cayley's\ formula\)的，当场懵逼，Wikipedia里也就带到了一下，没有解释怎么来的，然后下面贴了篇论文。

大概就是\(n\)个点\(k\)个联通块的森林，\(1,2,\cdots,k\)属于不同的联通块，这样不同的方案数共有\(k\cdot n^{n-k-1}\)种。

我自己用\(Prüfer\)序列脑补了半天没搞懂怎么来的，始终觉得感性理解是\(n^{n-k}\)，然后就去看了下那个证明。

用\(F(n,k)\)表示那个方案数（\(n,k\)与前面意义相同），我们要证明
\[F(n,k)=k\cdot n^{n-k-1} \;\;\;\;\;\;(1)\]
证明基于下面这个公式，若\(n>1\)且\(1 \leq k \leq n\)则
\[F(n,k)=\sum_{j=0}^{n-k} {n-k \choose j} F(n-1,k+j-1) \;\;\;\;\;\;(2)\]
其中\(F(1,1)=1,F(n,0)=0(n \geq 1)\)
要证明上面的递推式，考虑一个\(n\)个点\(k\)个联通块，\(1,2,\cdots,k\)属于不同的联通块的森林，在这个森林中，一号节点可能和\(\{k+1,k+2,\cdots,n\}\)的任何子集相连，假设连了\(j\)个点，那么方案数就是\(n-k \choose j\)，然后删掉一号点，此时有\(n-1\)个点，\(k+j-1\)个联通块，我们枚举\(j\)，就得到了上面的式子。

再用一下数学归纳法就可以把(2)式变成(1)式了
当\(n=1\)时，两式显然相等
当\(n>1\)时，若\(F(n-1,i)=i \cdot (n-1)^{n-i-2}\)，则由(2)可得
\[F(n,i)=\sum_{j=0}^{n-i} {n-i \choose j}(i+j-1)(n-1)^{n-i-j-1}=i \cdot n^{n-i-1}\;\;\;\;(3)\]
用一下二项式定理就行。

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博主有话说：不得不承认这篇博文是烂尾，毕竟还不是很懂二项式定理QAQ，但感觉这个证明还挺精巧的。