Loj #2568. 「APIO2016」烟花表演

题目描述

烟花表演是最引人注目的节日活动之一。在表演中，所有的烟花必须同时爆炸。为了确保安全，烟花被安置在远离开关的位置上，通过一些导火索与开关相连。导火索的连接方式形成一棵树，烟花是树叶，如图 1所示。火花从开关出发，沿导火索移动。每当火花抵达一个分叉点时，它会扩散到与之相连的所有导火索，继续燃烧。导火索燃烧的速度是一个固定常数。图 1展示了六枚烟花 $\{E_1, E_2, \ldots, E_6 \}$ 的连线布局，以及每根导火索的长度。图中还标注了当在时刻 $0$ 从开关点燃火花时，每一发烟花的爆炸时间。

图 1

Hyunmin 为烟花表演设计了导火索的连线布局。不幸的是，在他设计的布局中，烟花不一定同时爆炸。我们希望修改一些导火索的长度，让所有烟花在同一时刻爆炸。例如，为了让图 1中的所有烟花在时刻 $13$ 爆炸，我们可以像图 2中左边那样调整导火索长度。类似地，为了让图 1中的所有烟花在时刻 $14$ 爆炸，我们可以像图 2中右边那样调整长度。

图 2

修改导火索长度的代价等于修改前后长度之差的绝对值。例如，将图 1中布局修改为图 2，左边布局的总代价为 $6$，而将图 1中布局修改为图 2右边布局的总代价为 $5$。

导火索的长度可以被减为 $0$，同时保持连通性不变。

给定一个导火索的连线布局，你需要编写一个程序，去调整导火索长度，让所有的烟花在同一时刻爆炸，并使得代价最小。

输入格式

所有的输入均为正整数。令 $N$ 代表分叉点的数量，$M$ 代表烟花的数量。分叉点从 $1$ 到 $N$ 编号，编号为 $1$ 的分叉点是开关。烟花从 $N+1$ 到 $N+M$ 编号。

输入格式如下：

$N\:\:M$

$P_2\:\:C_2$

$P_3\:\:C_3$

$\ldots$

$P_N\:\:C_N$

$P_{N+1}\:\:C_{N+1}$

$\ldots$

$P_{N+M}\:\:C_{N+M}$

其中 $P_i$ 满足 $1\le P_i<i$，代表和分叉点或烟花 $i$ 相连的分叉点。$C_i$ 代表连接它们的导火索长度 $(1\le C_i\le 10^9)$。除开关外，每个分叉点和多于 $1$ 条导火索相连，而每发烟花恰好与 $1$ 条导火索相连。

数据范围与提示

子任务 1（7 分）：$N=1,1 \le M \le 100$。

子任务 2（19 分）：$1 \le N+M \le 300$，且开关到任一烟花的距离不超过 $300$。

子任务 3（29 分）：$1 \le N+M \le 5000$。

子任务 4（45 分）：$1 \le N+M \le 3\times 10^5$。

$\\$

参考博客

设$f_i(x)$为使得$i$的子树中所有叶子到$i$距离为$x$所付出的代价。很明显$f_i(x)$是个下凸的函数，而且中间有一整段斜率为$0$的区间，假设为$[L,R]$。我们先考虑已经得到了$f_u(x)$，要加上$u$的父亲到$u$的那条边（长度为$w$）后函数怎么变化。

\[f_{fa_u}(x)=
\begin{cases}
f_u(x)+w & x\leq L\\
f_u(L)+w-(x-L) & L\leq x\leq L+w\\
f_u(L) & L+w <x\leq R+w\\
f_u(R)+x-w-R & R+w<x
\end{cases}
\]

假设最终这条边的边权为$w'$，最优策略就是尽量使得$x-w'$，也就是所有叶子到$u$的距离尽量往$[L,R]$靠。

我们观察这个转移，相当于将$L$以左的部分抬高$w$，然后接一条斜率为$-1$的直线，然后接一条斜率为$0$的直线，最后接斜率为$1$的直线。也就是说先将右端的斜率大于$0$的直线全部删除，再加入上述三条直线。

假设我们已经完成了这个操作，于是就把这个函数加到$fa_u$的函数中。我们发现累加函数会使斜率逐渐增大。比如函数$1$在$x\geq x_1$的部分斜率为$1$，函数$2$在$x\geq x_2$的部分斜率为$1$（$x_1<x_2$），那么新函数在$x_1\leq x\leq x_2$的部分斜率为$1$，在$x>x_2$的部分斜率为$2$。

所以我们只需要维护函数的拐点的横坐标就行了。考虑每合并一个儿子，函数的最大斜率都会$+1$，所以函数最右端斜率$>0$的端点个数就是儿子的数量。具体实现可以用可并堆。

最后考虑得到最终的函数后怎么算答案。明显答案就在那一段斜率为$0$的区间，但是我们只维护了横坐标。我们知道$f_1(0)=sum$，其中$sum$表示所有的边长度之和。每次合并函数，最大斜率$+1$，同理最小斜率也会$-1$，所有函数左侧的斜率也是递减的。假设最左侧斜率$<0$的一堆端点有$k$个，分别为$x_1,x_2,\ldots,x_k$，那么答案就

\[sum-x_1*k+\sum_{i=2}^k(x_i-x_{i-1})*(k-i+1)\\
=sum-\sum_{i=1}^kx_i
\]

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define N 600005

using namespace std;

inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n,m;

struct tree {

	int ls,rs,key;

	ll val;

}tr[N<<1];

int Merge(int a,int b) {

	if(!a||!b) return a+b;

	if(tr[a].val<tr[b].val) swap(a,b);

	tr[a].rs=Merge(tr[a].rs,b);

	if(tr[tr[a].ls].key<tr[tr[a].rs].key) swap(tr[a].ls,tr[a].rs);

	tr[a].key=tr[a].rs?tr[tr[a].rs].key+1:0;

	return a;

}

int Pop(int a) {return Merge(tr[a].ls,tr[a].rs);}

int fa[N];

int len[N];

ll sum;

int sn[N];

int rt[N];

int tot;

int main() {

	n=Get(),m=Get();

	for(int i=2;i<=n+m;i++) {

		fa[i]=Get(),len[i]=Get();

		sum+=len[i];

		sn[fa[i]]++;

	}

	for(int i=n+m;i>=2;i--) {

		ll l=0,r=0;

		if(i<=n) {

			while(--sn[i]) rt[i]=Pop(rt[i]);

			r=tr[rt[i]].val;rt[i]=Pop(rt[i]);

			l=tr[rt[i]].val;rt[i]=Pop(rt[i]);

		}

		tr[++tot].val=l+len[i];

		tr[++tot].val=r+len[i];

		rt[i]=Merge(rt[i],Merge(tot-1,tot));

		rt[fa[i]]=Merge(rt[fa[i]],rt[i]);

	}

	while(sn[1]--) rt[1]=Pop(rt[1]);

	while(rt[1]) {

		sum-=tr[rt[1]].val;

		rt[1]=Pop(rt[1]);

	}

	cout<<sum;

	return 0;

}