URAL 1748. The Most Complex Number(反素数)
题意 :给你一个n,让你找出小于等于n的数中因子个数最多的那个数,并且输出因子个数,如果有多个答案,输出数最小的那个
思路 : 官方题解 :
(1)此题最容易想到的是穷举,但是肯定超时。
(2)我们可以知道,计算约数的个数和质因数分解有着很大的联系: 若Q的质因数分解为:Q=p1^k1*p2^k2*…*pm^km(p1…pm为素数,k1…km≥1),则Q有(k1+1)(k2+1)…(km+1)个约数。但是质因数分解的时间复杂度很高,所以也会超时。
(3)通过以上的公式,我们可以“突发奇想”:为何不能把质因数分解的过程反过来呢? 这个算法就是枚举每一个素数。初始时让m=1,然后从最小的素数2开始枚举,枚举因子中包含0个2、1个2、2个2…k个2,直至m*2^k大于区间的上限N。在这个基础上枚举3、5、7……的情况,算出现在已经得到的m的约数个数,同时与原有的记录进行比较和替换。直至所有的情况都被判定过了。 这个算法的优化:如果p1*p2*p3*……*pk>N(pi表示第i个素数),那么只要枚举到p k-1,既不浪费时间,也不会遗漏。
(4)以上的算法还不是最好的,还可以继续优化。 我们看以下的例子: 6=2*3 10=2*5 6和10的质因数分解“模式”完全相同,所以它们的约数个数是相同的。但是由于3<5,所以6<10。 12=2^2*3 18=3^2*2 12和18的质因数分解“模式”完全相同,所以它们的约数个数是相同的。但是由于12的质因数分解中2的指数大于3的指数,18的质因数分解中3的指数大于2的指数,所以12<18。 根据以上的举例,我们也可以对(3)中的算法进行一个改进:可以在枚举时进行一个优化,使得枚举到的数字中2的指数不小于3的指数,3的指数不小于5的指数……这样我们就能够得到质因数分解“模式”相同的最小数(证明略)。再对于每一个得到的数进行比较和记录。这个算法的优化力度极大,效率几乎达到了极限。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std ; LL n,minnum,cnt ;
const int prime[] = {,,,,,,,,,,,,,,,} ; //num:当前枚举到的数,k:枚举到的第k大的质因子;cntt:该数的约数个数;maxxcnt:质因子个数上限;
void dfs(LL num,LL k,LL cntt,int maxxcnt)
{
if(k >= ) return ; //如果约数个数更多或者相同,将最优解更新为当前数;
if(cntt > cnt || (cntt == cnt && num < minnum))
{
cnt = cntt ;
minnum = num ;
}
LL temp = num ;
for(LL i = ; i <= maxxcnt ; i++) //开始枚举每个质因子的个数;
{
if(temp > n / prime[k])
break ;
temp *= prime[k] ; //累乘到当前数;
dfs(temp,k+,cntt*(i+),i) ;
}
}
int main()
{
int T ;
scanf("%d",&T) ;
while(T--)
{
scanf("%I64d",&n) ;
minnum = cnt = ;
dfs(,,,) ;
printf("%I64d %I64d\n",minnum,cnt) ;
}
return ;
}
反素数介绍
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