b树的实现（c++）

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B树的定义

假设B树的度为t（t>=2），则B树满足如下要求：（参考算法导论）

（1）  每个非根节点至少包含t-1个关键字，t个指向子节点的指针；至多包含2t-1个关键字，2t个指向子女的指针（叶子节点的子女为空）。

（2）  节点的所有key按非降序存放，假设节点的关键字分别为K[1], K[2] … K[n], 指向子女的指针分别为P[1], P[2]…P[n+1]，其中n为节点关键字的个数。则有：

P[1] <= K[1] <= P[2] <= K[2] …..<= K[n] <= P[n+1]   // 这里P[n]也指其指向的关键字

（3）  若根节点非空，则根节点至少包含两个子女；

（4）  所有的叶子节点都在同一层。

 

B树的搜索，search（root, target）

从root出发，对每个节点，找到大于或等于target关键字中最小的K[i]，如果K[i]与target相等，则查找成功；否则在P[i]中递归搜索target，直到到达叶子节点，如仍未找到则说明关键字不在B树中，查找失败。

B树的插入，insert(root, target)

B树的插入需要沿着搜索的路径从root一直到叶节点，根据B树的规则，每个节点的关键字个数在[t-1, 2t-1]之间，故当target要加入到某个叶子时，如果该叶子节点已经有2t-1个关键字，则再加入target就违反了B树的定义，这时就需要对该叶子节点进行分裂，将叶子以中间节点为界，分成两个包含t-1个关键字的子节点，同时把中间节点提升到该叶子的父节点中，如果这样使得父节点的关键字个数超过2t-1，则要继续向上分裂，直到根节点，根节点的分裂会使得树加高一层。

上面的过程需要回溯，那么能否从根下降到叶节点后不回溯就能完成节点的插入呢？答案是肯定的，核心思想就是未雨绸缪，在下降的过程中，一旦遇到已满的节点（关键字个数为2t-1），就就对该节点进行分裂，这样就保证在叶子节点需要分裂时，其父节点一定是非满的，从而不需要再向上回溯。

B树的删除，delete(root, target)

在删除B树节点时，为了避免回溯，当遇到需要合并的节点时就立即执行合并，B树的删除算法如下：从root向叶子节点按照search规律遍历：

（1）  如果target在叶节点x中，则直接从x中删除target，情况（2）和（3）会保证当再叶子节点找到target时，肯定能借节点或合并成功而不会引起父节点的关键字个数少于t-1。

（2）  如果target在分支节点x中：

（a）  如果x的左分支节点y至少包含t个关键字，则找出y的最右的关键字prev，并替换target，并在y中递归删除prev。

（b）  如果x的右分支节点z至少包含t个关键字，则找出z的最左的关键字next，并替换target，并在z中递归删除next。

（c）  否则，如果y和z都只有t-1个关键字，则将targe与z合并到y中，使得y有2t-1个关键字，再从y中递归删除target。

（3）  如果关键字不在分支节点x中，则必然在x的某个分支节点p[i]中，如果p[i]节点只有t-1个关键字。

（a）  如果p[i-1]拥有至少t个关键字，则将x的某个关键字降至p[i]中，将p[i-1]的最大节点上升至x中。

（b）  如果p[i+1]拥有至少t个关键字，则将x个某个关键字降至p[i]中，将p[i+1]的最小关键字上升至x个。

（c）  如果p[i-1]与p[i+1]都拥有t-1个关键字，则将p[i]与其中一个兄弟合并，将x的一个关键字降至合并的节点中，成为中间关键字。

B树的实现

数据结构

1. /**
2. * @brief the degree of btree
3. * key per node: [M-1, 2M-1]
4. * child per node: [M, 2M]
5. */
6. #define M 2   // M为B树的度
7. typedef struct btree_node {
8. int k[2*M-1];
9. struct btree_node *p[2*M];
10. int num;
11. bool is_leaf;
12. } btree_node;

 

创建B树

1. btree_node *btree_node_new()
2. {
3. btree_node *node = (btree_node *)malloc(sizeof(btree_node));
4. if(NULL == node) {
5. return NULL;
6. }
7. for(int i = 0; i < 2 * M -1; i++) {  // 初始化key
8. node->k[i] = 0;
9. }
10. for(int i = 0; i < 2 * M; i++) {     // 初始化pointer
11. node->p[i] = NULL;
12. }
13. node->num = 0;
14. node->is_leaf = true;  // 默认为叶子
15. }
16. btree_node *btree_create()
17. {
18. btree_node *node = btree_node_new();
19. if(NULL == node) {
20. return NULL;
21. }
22. return node;
23. }

 

插入节点

1. // 当child满时，将其进行分裂，child = parent->p[pos]
2. int btree_split_child(btree_node *parent, int pos, btree_node *child)
3. {
4. // 创建新的节点
5. btree_node *new_child = btree_node_new();
6. if(NULL == new_child) {
7. return -1;
8. }

      

     // 新节点的is_leaf与child相同，key的个数为M-1

1. new_child->is_leaf = child->is_leaf;
2. new_child->num = M - 1;
3. // 将child后半部分的key拷贝给新节点
4. for(int i = 0; i < M - 1; i++) {
5. new_child->k[i] = child->k[i+M];
6. }

      

     // 如果child不是叶子，还需要把指针拷过去，指针比节点多1

1. if(false == new_child->is_leaf) {
2. for(int i = 0; i < M; i++) {
3. new_child->p[i] = child->p[i+M];
4. }
5. }
6. child->num = M - 1;

      

     // child的中间节点需要插入parent的pos处，更新parent的key和pointer

1. for(int i = parent->num; i > pos; i--) {
2. parent->p[i+1] = parent->p[i];
3. }
4. parent->p[pos+1] = new_child;
5. for(int i = parent->num - 1; i >= pos; i--) {
6. parent->k[i+1] = parent->k[i];
7. }
8. parent->k[pos] = child->k[M-1];
9. parent->num += 1;
10. }

 

 // 执行该操作时，node->num < 2M-1 

1. void btree_insert_nonfull(btree_node *node, int target)
2. {
3. if(1 == node->is_leaf) { // 如果在叶子中找到，直接删除
4. int pos = node->num;
5. while(pos >= 1 && target < node->k[pos-1]) {
6. node->k[pos] = node->k[pos-1];
7. pos--;
8. }
9. node->k[pos] = target;
10. node->num += 1;
11. } else {   // 沿着查找路径下降
12. int pos = node->num;
13. while(pos > 0 && target < node->k[pos-1]) {
14. pos--;
15. }
16. if(2 * M -1 == node->p[pos]->num) {
17. btree_split_child(node, pos, node->p[pos]); // 如果路径上有满节点则分裂
18. if(target > node->k[pos]) {
19. pos++;
20. }
21. }
22. btree_insert_nonfull(node->p[pos], target);
23. }
24. }

 //插入入口

1. btree_node* btree_insert(btree_node *root, int target)
2. {
3. if(NULL == root) {
4. return NULL;
5. }
6. // 对根节点的特殊处理，如果根是满的，唯一使得树增高的情形
7. // 先申请一个新的
8. if(2 * M - 1 == root->num) {
9. btree_node *node = btree_node_new();
10. if(NULL == node) {
11. return root;
12. }
13. node->is_leaf = 0;
14. node->p[0] = root;
15. btree_split_child(node, 0, root);
16. btree_insert_nonfull(node, target);
17. return node;
18. } else {
19. btree_insert_nonfull(root, target);
20. return root;
21. }
22. }

 

删除节点

1. // 将y，root->k[pos], z合并到y节点，并释放z节点，y,z各有M-1个节点
2. void btree_merge_child(btree_node *root, int pos, btree_node *y, btree_node *z)
3. {
4. // 将z中节点拷贝到y的后半部分
5. y->num = 2 * M - 1;
6. for(int i = M; i < 2 * M - 1; i++) {
7. y->k[i] = z->k[i-M];
8. }
9. y->k[M-1] = root->k[pos]; // k[pos]下降为y的中间节点
10. // 如果z非叶子，需要拷贝pointer
11. if(false == z->is_leaf) {
12. for(int i = M; i < 2 * M; i++) {
13. y->p[i] = z->p[i-M];
14. }
15. }

     

      // k[pos]下降到y中，更新key和pointer

1. for(int j = pos + 1; j < root->num; j++) {
2. root->k[j-1] = root->k[j];
3. root->p[j] = root->p[j+1];
4. }
5. root->num -= 1;
6. free(z);
7. }

  

 // 删除入口

1. btree_node *btree_delete(btree_node *root, int target)
2. {
3. // 特殊处理，当根只有两个子女，切两个子女的关键字个数都为M-1时，合并根与两个子女
4. // 这是唯一能降低树高的情形
5. if(1 == root->num) {
6. btree_node *y = root->p[0];
7. btree_node *z = root->p[1];
8. if(NULL != y && NULL != z &&
9. M - 1 == y->num && M - 1 == z->num) {
10. btree_merge_child(root, 0, y, z);
11. free(root);
12. btree_delete_nonone(y, target);
13. return y;
14. } else {
15. btree_delete_nonone(root, target);
16. return root;
17. }
18. } else {
19. btree_delete_nonone(root, target);
20. return root;
21. }
22. }

  

 // root至少有个t个关键字，保证不会回溯

1. void btree_delete_nonone(btree_node *root, int target)
2. {
3. if(true == root->is_leaf) {  // 如果在叶子节点，直接删除
4. int i = 0;
5. while(i < root->num && target > root->k[i]) i++;
6. if(target == root->k[i]) {
7. for(int j = i + 1; j < 2 * M - 1; j++) {
8. root->k[j-1] = root->k[j];
9. }
10. root->num -= 1;
11. } else {
12. printf("target not found\n");
13. }
14. } else {  // 在分支中
15. int i = 0;
16. btree_node *y = NULL, *z = NULL;
17. while(i < root->num && target > root->k[i]) i++;
18. if(i < root->num && target == root->k[i]) { // 如果在分支节点找到target
19. y = root->p[i];
20. z = root->p[i+1];
21. if(y->num > M - 1) {
22. // 如果左分支关键字多于M-1，则找到左分支的最右节点prev，替换target
23. // 并在左分支中递归删除prev,情况2（a)
24. int pre = btree_search_predecessor(y);
25. root->k[i] = pre;
26. btree_delete_nonone(y, pre);
27. } else if(z->num > M - 1) {
28. // 如果右分支关键字多于M-1，则找到右分支的最左节点next，替换target
29. // 并在右分支中递归删除next,情况2(b)
30. int next = btree_search_successor(z);
31. root->k[i] = next;
32. btree_delete_nonone(z, next);
33. } else {
34. // 两个分支节点数都为M-1，则合并至y，并在y中递归删除target,情况2(c)
35. btree_merge_child(root, i, y, z);
36. btree_delete(y, target);
37. }
38. } else {   // 在分支没有找到，肯定在分支的子节点中
39. y = root->p[i];
40. if(i < root->num) {
41. z = root->p[i+1];
42. }
43. btree_node *p = NULL;
44. if(i > 0) {
45. p = root->p[i-1];
46. }
47. if(y->num == M - 1) {
48. if(i > 0 && p->num > M - 1) {
49. // 左邻接节点关键字个数大于M-1
50. btree_shift_to_right_child(root, i-1, p, y); //情况3(a)
51. } else if(i < root->num && z->num > M - 1) {
52. // 右邻接节点关键字个数大于M-1
53. btree_shift_to_left_child(root, i, y, z); // 情况3(b)
54. } else if(i > 0) {
55. btree_merge_child(root, i-1, p, y);  // 情况3（c)
56. y = p;
57. } else {
58. btree_merge_child(root, i, y, z); // 情况3(c)
59. }
60. btree_delete_nonone(y, target);
61. } else {
62. btree_delete_nonone(y, target);
63. }
64. }
65. }
66. }

 //寻找rightmost，以root为根的最大关键字

1. int btree_search_predecessor(btree_node *root)
2. {
3. btree_node *y = root;
4. while(false == y->is_leaf) {
5. y = y->p[y->num];
6. }
7. return y->k[y->num-1];
8. }

 // 寻找leftmost，以root为根的最小关键字

1. int btree_search_successor(btree_node *root)
2. {
3. btree_node *z = root;
4. while(false == z->is_leaf) {
5. z = z->p[0];
6. }
7. return z->k[0];
8. }

 // z向y借节点，将root->k[pos]下降至z，将y的最大关键字上升至root的pos处

1. void btree_shift_to_right_child(btree_node *root, int pos,
2. btree_node *y, btree_node *z)
3. {
4. z->num += 1;
5. for(int i = z->num -1; i > 0; i--) {
6. z->k[i] = z->k[i-1];
7. }
8. z->k[0]= root->k[pos];
9. root->k[pos] = y->k[y->num-1];
10. if(false == z->is_leaf) {
11. for(int i = z->num; i > 0; i--) {
12. z->p[i] = z->p[i-1];
13. }
14. z->p[0] = y->p[y->num];
15. }
16. y->num -= 1;
17. }

 

 // y向借节点，将root->k[pos]下降至y，将z的最小关键字上升至root的pos处

1. void btree_shift_to_left_child(btree_node *root, int pos,
2. btree_node *y, btree_node *z)
3. {
4. y->num += 1;
5. y->k[y->num-1] = root->k[pos];
6. root->k[pos] = z->k[0];
7. for(int j = 1; j < z->num; j++) {
8. z->k[j-1] = z->k[j];
9. }
10. if(false == z->is_leaf) {
11. y->p[y->num] = z->p[0];
12. for(int j = 1; j <= z->num; j++) {
13. z->p[j-1] = z->p[j];
14. }
15. }
16. z->num -= 1;
17. }

 

插入与删除过程（图片为层序遍历的结果）

插入序列[18, 31, 12, 10, 15, 48, 45, 47, 50, 52, 23, 30, 20]

 

删除序列[15, 18, 23, 30, 31, 52, 50, 48, 47, 45, 20, 12, 10]

B+树

与B树不同的时，B+树的关键字都存储在叶子节点，分支节点均为索引，在实现上大致与B树类似，在几个细节稍有不同。

（1） 数据结构中增加prev，next指针，用于将叶子节点串成有序双向链表。

（2） 在节点分裂的时候，如果分裂的节点为叶子，则需要把中间节点保留在左(或右)边的分支上，并且需要更新prev和next。

（3） 在节点合的时候，如果合并的节点为叶子，不需要把跟节点下降为中间节点，并且需要更新prev和next。

（4） 在向邻接节点借节点时，借来的关键字并不是父节点的关键字，而是邻接点的关键字，并根据实际情况更新父节点的索引。

btree.rar  C语言实现，因用到了bool变量，编译时请使用g++ -o btree btree.c