bzoj 4555 [Tjoi2016&Heoi2016]求和 NTT 第二类斯特林数 等比数列求和优化

[Tjoi2016&Heoi2016]求和

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Description

在2016年，佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数，非常开心。

现在他想计算这样一个函数的值:

S(i, j)表示第二类斯特林数，递推公式为:

S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1。

边界条件为：S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i)

你能帮帮他吗?

Input

输入只有一个正整数

Output

输出f(n)。由于结果会很大，输出f(n)对998244353(7 × 17 × 223 + 1)取模的结果即可。1 ≤ n ≤ 100000

Sample Input

3

Sample Output

87

HINT

 

Source

 

多谢大佬的blog，我自己写比较慢，所以直接贴了。

这题本来是来练多项式求逆的，但是好像其它方法也可以做。

然后就通过这样的方法解出了，我们都知道等比数列求和的第一项需要特殊考虑，所以g[1]=n

然后就是卷积的形式了，从n^2 log n----------->  n log n

 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>

 #define ll long long
 #define mod 998244353
 #define G 3
 #define N 100007
 using namespace std;
 inline int read()
 {
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(isdigit(ch)){x=(x<<)+(x<<)+ch-'';ch=getchar();}
     return x*f;
 }

 int n,num,L,inv;
 int jc[N],ny[N],jcn[N];
 ll a[N<<],b[N<<],rev[N<<];

 int fast_pow(int a,int b)
 {
     int ans=;
     while(b)
     {
         if (b&) ans=(ll)ans*a%mod;
         a=(ll)a*a%mod;
         b>>=;
     }
     return ans;
 }
 void NTT(ll *a,ll f)
 {
     for (ll i=;i<num;i++)
         if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
     for (ll i=;i<num;i<<=)
     {
         ll wn=fast_pow(G,(mod-)/(i<<));
         for (ll j=;j<num;j+=(i<<))
         {
             ll w=;
             for (ll k=;k<i;w=(ll)w*wn%mod,k++)
             {
                 ll x=a[j+k],y=(ll)w*a[j+k+i]%mod;
                 a[j+k]=(x+y>=mod)?x+y-mod:x+y,a[j+k+i]=(x-y<)?x-y+mod:x-y;
             }
         }
     }
     if (f==-)
     {
         for (ll i=;i<num/;i++) swap(a[i],a[num-i]);
         for (ll i=;i<num;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
     }
 }
 int main()
 {
     n=read();
     jc[]=,ny[]=,jcn[]=;
     for (int i=;i<=n;i++)
         jc[i]=(ll)jc[i-]*i%mod,ny[i]=fast_pow(i,mod-),jcn[i]=(ll)jcn[i-]*ny[i]%mod;
     for (int i=;i<=n;i++)
         a[i]=(ll)((i&)?-:)*jcn[i];
     for (int i=;i<=n;i++)
         b[i]=(ll)(fast_pow(i,n+)-i)*jcn[i]%mod*ny[i-]%mod;b[]=n;
     for (num=;num<=*n;num<<=,L++);if (L) L--;inv=fast_pow(num,mod-);
     for (int i=;i<=num;i++) rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<L);
     NTT(a,),NTT(b,);
     for (int i=;i<num;i++)
         a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mod;
     NTT(a,-);
     int ans=;//第一项的等比数列的影响
     for (int i=;i<=n;i++)
         (ans+=(ll)fast_pow(,i)*jc[i]%mod*a[i]%mod)%=mod;
     ans=(ans+mod)%mod;
     printf("%d\n",ans);
 }