最小的N个和（codevs 1245）

1245 最小的N个和

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 题目等级 : 钻石 Diamond

题解

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题目描述 Description

有两个长度为 N 的序列 A 和 B，在 A 和 B 中各任取一个数可以得到 N^2 个和，求这N^2 个和中最小的 N个。

输入描述 Input Description

第一行输入一个正整数N；第二行N个整数Ai 且Ai≤10^9；第三行N个整数Bi，
且Bi≤10^9

输出描述 Output Description

输出仅一行，包含 n 个整数，从小到大输出这 N个最小的和，相邻数字之间用
空格隔开。

样例输入 Sample Input

5

1 3 2 4 5 
6 3 4 1 7

样例输出 Sample Output

2 3 4 4 5

最暴力的方法：我们可以把所有情况都算出来，再排序，很显然，空间和时间都会爆。

网上的思路：（其实不是很明白这样算出来的i*j-1的前n个解就是最优解）

想办法把一些一定不可能的状态给消除掉。

首先还是给A，B排序，同样还是这个表：

B\A	1	2	…	i	…	n
1
2
…
i
…
n

观察到，对于(i,j)这个点，比它小的元素至少有i×j−1个。 
由于我们要求前N小的，所以满足要求的点至少要满足i×j−1<n即i×j≤n。 
这样我们可以把点的个数缩小至

⌊n1⌋+⌊n2⌋+...+⌊ni⌋+...+⌊nn⌋=O(n∑i=1n1i)=O(nlogn)

时间复杂度：O(nlog2n) 
空间复杂度：O(nlogn)

代码：实测172ms

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define M 100010
#define N 3000010
using namespace std;
int a[M],b[M],c[M];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=;i<=n;i++)
      scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=;i<=n;i++)
      scanf("%d",&b[i]);
    sort(a+,a+n+);
    sort(b+,b+n+);
    int cnt=;
    for(int i=;i<=n;i++)
      for(int j=;i*j<=n;j++)
        c[++cnt]=a[i]+b[j];
    sort(c+,c+cnt+);
    for(int i=;i<=n;i++)
      printf("%d ",c[i]);
    return ;
}

另一种方法：堆排

思路：

设两个数组a,b

和一个堆tree {int aa,bb,s}

堆元素aa是数组a中的位置。bb是数组b中的位置。s是该两个数的和。

将a,b从小到大排序。

先把a的每一个元素和b的第一个元素配对，放入堆中，则刚好从小到大。

然后反复操作以下步骤：

取出堆的第一组元素，输出s。

然后第一组元素的bb值加1，即b数组指针向后移一位，更新s值。

进行堆操作，使hp又成为一个小根堆。

直到输出了n次s

例：

a[6]:{1 3 2 4 5}

b[6]:{6 3 4 1 7}

排序：

a[6]:{1 2 3 4 5}

b[6]:{1 3 4 6 7}

以b数组的第一个数为基准，a的每一个数和这个数相加，加入hp

tree[6]:{

{aa=1;bb=1;s=2};

{aa=2;bb=1;s=3};

{aa=3;bb=1;s=4};

{aa=4;bb=1;s=5};

{aa=5;bb=1;s=6};

};

将第一组元素取出，输出2 。

改为{aa=1;bb=2;s=4};

tree[6]:{

{aa=1;bb=2;s=4};

{aa=2;bb=1;s=3};

{aa=3;bb=1;s=4};

{aa=4;bb=1;s=5};

{aa=5;bb=1;s=6};

};

此时，要进行堆操作，

tree[6]:{

{aa=2;bb=1;s=3};

{aa=1;bb=2;s=4};

{aa=3;bb=1;s=4};

{aa=4;bb=1;s=5};

{aa=5;bb=1;s=6};

};

将第一组元素取出，输出3 。

......

算法实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include<cstdio>
#define M 100001
using namespace std;
struct node
{
    int s,aa,bb;
};node tree[(M<<)+];
int a[M],b[M];
int n,len,kk;
int main()
{
    freopen("jh.in","r",stdin);
    cin>>n;
    for(int i=;i<=n;i++)cin>>a[i];
    for(int i=;i<=n;i++)cin>>b[i];
    sort(a+,a+n+);
    sort(b+,b+n+);
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        tree[i].aa=i;
        tree[i].bb=;
        tree[i].s=a[i]+b[];
    }
    len=n;
    while()
    {
        cout<<tree[].s<<" ";
        kk++;
        tree[].bb++;
        tree[].s=a[tree[].aa]+b[tree[].bb];
        if(tree[].bb>n)tree[].s=1e9;
        int q=;
        while()
        {
            int q1=q<<,q2=q1+;
            if(q1>len)break;
            if(q2<=len&&tree[q2].s<tree[q1].s)q1=q2;
            if(tree[q].s<=tree[q1].s)break;
                else swap(tree[q],tree[q1]);
            q=q1;
        }
        if(kk==n)break;
    }
    return ;
}