nim3取石子游戏 (威佐夫博弈)

http://www.cnblogs.com/jackge/archive/2013/04/22/3034968.html

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。

所谓威佐夫博弈，是ACM题中常见的组合游戏中的一种，大致上是这样的：
有两堆石子，不妨先认为一堆有 10，另一堆有 15 个，双方轮流取走一些石子，合法的取法有如下两种：
1、在一堆石子中取走任意多颗；
2、在两堆石子中取走相同多的任意颗；
约定取走最后一颗石子的人为赢家，求必胜策略。

两堆石头地位是一样的，我们用余下的石子数(a,b)来表示状态，并画在平面直角坐标系上。

和前面类似，(0,0)肯定是 P 态，又叫必败态。(0,k),(k,0),(k,k)系列的节点肯定不是 P 态，而是必胜态，你面对这样的局面一定会胜，只要按照规则取一次就可以了。再看 y = x 上方未被划去的格点，(1,2)是 P 态。k > 2 时，(1,k)不是 P 态，比如你要是面对(1,3)的局面，你是有可能赢的。同理，(k,2)，(1 + k, 2 + k)也不是 P 态，划去这些点以及它们的对称点，然后再找出 y = x 上方剩余的点，你会发现(3,5)是一个 P 态，如此下去，如果我们只找出 a ≤ b 的 P 态，则它们是(0,0)，(1,2)，(3,5)，(4,7)，(6,10)……它们有什么规律吗？

忽略(0,0)，很快会发现对于第 i 个 P 态的 a，a = i * (sqrt(5) + 1)/2 然后取整；而 b = a + i。居然和黄金分割点扯上了关系。
前几个必败点如下：(0,0)，(1,2)，(3,5)，(4,7)，(6,10)，(8,13)……可以发现，对于第k个必败点(m(k),n(k))来说，m(k)是前面没有出现过的最小自然数，n(k)=m(k)+k。
判断一个点是不是必败点的公式与黄金分割有关（我无法给出严格的数学证明，谁能给出严格的数学证明记得告诉我），为：
m(k) = k * (1 + sqrt(5))/2
n(k) = m(k) + k；

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
 
using namespace std;
 
int a,b;
 
int main(){
 
    //freopen("input.txt","r",stdin);
 
    while(~scanf("%d%d",&a,&b)){
        if(a<b){
            a^=b;
            b^=a;
            a^=b;
        }
        int k=a-b;
        a=(int)(k*(+sqrt())/2.0);
        if(a==b)
            printf("0\n");
        else
            printf("1\n");
    }
    return ;
}

原来这tm是编程之美上的题。。。上面的结论编程之美上有证明。。。p72

还有一种找规律的方法。。。用类似质素的选择的方法，过滤数的方法(2的倍数，3的倍数...)，把必胜态都过滤掉。。。

然后剩下必败态，(1,2),(3,5),(4,7)...比如(3,5)能被对方换为(1,2)。。。所以这样下去就行。。。o(n)