解题报告 『宝藏(Prim思想 + 访问顺序随机)』
本以为不过是一道Prim算法模版题,但貌似只能得45分,虽然对我这种蒟蒻来说已经够了。
然而同机房大佬表示可以用模拟退火A了此题,遂习之,终无所获。
然而机缘巧合之下习得了另一种随机算法,于是搭配Prim算法,竟然过了!
首先我们要明确一点:单纯的Prim算法为什么不行。相信聪明的你已经知道了,比如下面就是一个反例:
4 4
1 2 2
1 3 20
2 3 3
3 4 500
Prim算法得出的答案为1508,但是最优解应为507,成功hack。
那么Prim算法是否就真的没有用武之地了呢?非也,我们可以抽出Prim算法的思想——每次取最小。
随机化部分
比如上面那张图,我们按照Prim算法的思想来跑的话,访问顺序如下:
1 => 2 => 3 => 4
但如果访问顺序恰好为:
3 => 4 => 2 => 1
便可以得到最优解507。
基于此思想,我们可以随机访问顺序,然后按照这个访问顺序跑贪心,或许这样不能过,但在大量的随机下,我们十有八九会得出正确的答案,而我们按照一个顺序求出答案仅仅只是n^2的(更何况n最大只有12),所以……
已经没有什么好害怕的了。
代码实现如下:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, a, b) for (register int i = (a); i <= (b); i++) const long long maxn = + , T = 5e3, INF = 1e9; long long n, m, ans = INF;
long long a[maxn], dis[maxn], edge[maxn][maxn]; long long read() {
long long x = , flag = ;
char ch = ' ';
while (ch != '-' && (ch < '' || ch > '')) ch = getchar();
if (ch == '-') {
flag = ;
ch = getchar();
}
while (ch >= '' && ch <= '') {
x = (x << ) + (x << ) + ch - '';
ch = getchar();
}
return flag ? -x : x;
} void origin() {
rep(i, , n)
rep(j, , n)
edge[i][j] = ((i == j) ? : INF);
rep(i, , n) a[i] = i;//最开始的访问顺序就按照1,2,3,4,...,n.
} long long check() {
memset(dis, , sizeof(dis));
long long cost = , start = a[];//取出第一个点.
dis[start] = ;
rep(i, , n) {
int v = a[i];
int cost_v = INF;
rep(j, , i - ) {
int u = a[j];
if (edge[u][v] * (dis[u] + ) < cost_v) {
cost_v = edge[u][v] * (dis[u] + );
dis[v] = dis[u] + ;
}
}
if (cost_v >= INF) return INF;
cost += cost_v;
}
return cost;
} void work() {
long long tot = T;
while (tot--) {
long long x = rand() % n + , y = rand() % n + ;
swap(a[x], a[y]);//随机交换两个数以达成随机序列.
long long new_ans = check();
ans = min(ans, new_ans);
}
} void write(int x) {
if (x < ) {
putchar('-');
x = -x;
}
if (x > ) write(x / );
putchar(x % + '');
} int main() {
n = read(), m = read();
origin();
rep(i, , m) {
long long u, v, w;
u = read(), v = read(), w = read();
edge[u][v] = min(edge[u][v], w);
edge[v][u] = min(edge[v][u], w);
}
work();
write(ans);
return ;
}
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