UOJ79 一般图最大匹配

题目描述

从前一个和谐的班级，所有人都是搞OI的。有 nn 个是男生，有 00 个是女生。男生编号分别为 1,…,n1,…,n。

现在老师想把他们分成若干个两人小组写动态仙人掌，一个人负责搬砖另一个人负责吐槽。每个人至多属于一个小组。

有若干个这样的条件：第 vv 个男生和第 uu 个男生愿意组成小组。

请问这个班级里最多产生多少个小组？

输入格式

第一行两个正整数，n,mn,m。保证 n≥2n≥2。

接下来 mm 行，每行两个整数 v,uv,u 表示第 vv 个男生和第 uu 个男生愿意组成小组。保证 1≤v,u≤n1≤v,u≤n，保证 v≠uv≠u，保证同一个条件不会出现两次。

输出格式

第一行一个整数，表示最多产生多少个小组。

接下来一行 nn 个整数，描述一组最优方案。第 vv 个整数表示 vv 号男生所在小组的另一个男生的编号。如果 vv 号男生没有小组请输出 00。

样例一

input

10 20
9 2
7 6
10 8
3 9
1 10
7 1
10 9
8 6
8 2
8 1
3 1
7 5
4 7
5 9
7 8
10 4
9 1
4 8
6 3
2 5

output

5
9 5 6 10 2 3 8 7 1 4 

样例二

input

5 4
1 5
4 2
2 1
4 3

output

2
2 1 4 3 0

正解：带花树算法

解题报告：

　　这道题是一般图最大匹配，也就是带花树算法裸题。

　　大概讲一下一般图最大匹配的思想：一般图最大匹配由带花树算法实现，2015年国家集训队论文中我校学长陈胤伯详细介绍了这一算法。

　　考虑一般图与二分图最大的不同就在于一般图存在奇环，所以我们不能完全套用二分图最大匹配的算法。

　　在这里不加以证明的给出具体做法（证明详见2015年国家队论文）：

　　每次从一个未盖点出发，将其命名为偶点（偶点匹配的点称之为奇点），枚举其出边以及出边连接的点v：

　　如果v在本次BFS中还未被经过，则假设未匹配，那么找到了一条增广路，原路返回，把原来的匹配边和非匹配边取反，这样可以使答案加一；否则，将v的匹配点加入队列中拓展，根据我们上面的定义，v的匹配点显然也是偶点。

　　如果v已经访问过，那么显然出现了环，这个环如果是偶环则不用考虑，如果是奇环且本身两个点就不处在同一个现有已经处理过的奇环中，我们就需要将其缩为一个点（或者说是一朵花），并且把上面的奇点全都标记为偶点，丢到队列里面拓展。

　　这就是带花树的完整做法。不理解的可以结合我的代码理解一下。我就是看别人代码看懂的......

　　代码如下：

//It is made by ljh2000
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 520;
const int MAXM = 250011;
const int MAXL = 10011;
int n,m,ecnt,first[MAXN],next[MAXM],to[MAXM],father[MAXN],Tim;
int dui[MAXL],head,tail,id[MAXN],pre[MAXN],match[MAXN],ans,vis[MAXN];
inline int find(int x){ if(father[x]!=x) father[x]=find(father[x]); return father[x]; }
inline int getint(){
    int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<'0'||c>'9') && c!='-') c=getchar();
    if(c=='-') q=1,c=getchar(); while (c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar(); return q?-w:w;
}

inline int lca(int x,int y){
	Tim++;
	while(vis[x]!=Tim) {
		if(x) {
			x=find(x);
			if(vis[x]==Tim) return x;
			vis[x]=Tim;
			if(match[x]!=0)	x=find(pre[match[x]]);
			else x=0;
		}
		swap(x,y);
	}
	return x;
}

inline void change(int x,int y,int k){//把奇环上的点缩成一个点，并且把原来是奇点的点变成偶点，加入队列
	while(find(x)!=k) {
		pre[x]=y; int z=match[x];
		if(id[z]==1) { id[z]=0; dui[++tail]=z; }
		if(find(z)==z) father[z]=k;
		if(find(x)==x) father[x]=k;
		y=z; x=pre[y];
	}
}

inline bool bfs(int ini){
	for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=-1,father[i]=i;
	head=tail=0; dui[++tail]=ini; id[ini]=0; int u;
	while(head<tail) {
		u=dui[++head];
		for(int i=first[u];i;i=next[i]) {
			int v=to[i];
			if(id[v]==-1) {
				pre[v]=u; id[v]=1;
				if(!match[v]) {
					int last,t,now=v;
					while(now!=0) {
						t=pre[now]; last=match[t];
						match[t]=now; match[now]=t;
						now=last;
					}
					return true;
				}
				id[match[v]]=0; dui[++tail]=match[v];
			}
			else if(id[v]==0&&find(u)!=find(v)){ //出现奇环且不是在同一个环中
				int g=lca(u,v);
				change(u,v,g);
				change(v,u,g);
			}
		}
	}
	return false;
}

inline void work(){
	n=getint(); m=getint(); int x,y;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		x=getint(); y=getint();
		next[++ecnt]=first[x]; first[x]=ecnt; to[ecnt]=y;
		next[++ecnt]=first[y]; first[y]=ecnt; to[ecnt]=x;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!match[i]&&bfs(i)) ans++;
	printf("%d\n",ans);
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",match[i]);
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}