题意:给你一个硬币,抛掷n次,问出现连续至少k个正面向上的情况有多少种。

原题中问出现连续至少k个H的情况,很难下手。我们可以试着将问题转化一下。

设dp[i][j]表示抛掷i个硬币出现连续至多j个H的情况种数。

实际上原题中的出现连续至少k个H,即出现连续k个H,k+1个H,...n个H的并集,等价于dp[n][n]-dp[n][k-1],即从连续至多n个H的情况(其实这就是所有的抛掷情况种数)减去连续至多(k-1)个H的情况,这保证得到的所有情况一定至少有k个连续的H。

现在问题就变成了怎么求dp[i][j]。

考虑当i<=j的时候,dp[i][j]=dp[i-1][j]*2,即从上一阶段得到的抛掷序列后面增加正和反两种情况,如果出现连续的H个数大于j个,这种情况是非法的,但很显然此时不会出现这种情况。

当i>j时,如果继续用dp[i][j]=dp[i-1][j]*2就不行了。因为如果 从i-j到第i-1全部都是H ,那么这时候在第i个位置再加一个H,就会出现连续的H个数大于j个的非法状态,所以我们需要减掉 从i-j到第i-1全部都是H 的这种情况。那么这种情况有多少种呢。我们考虑该状态是如何转移而来的。试想第i-j-1个位置应该是什么呢。很明显应该是F。如果是H那就会出现非法状态了。那在第i-j-1之前的位置呢。无论H和F都可以,只要不出现连续的H个数大于j的非法状态即可,这就是dp[i-j-2][j]。

那么这样,dp[i][j]=dp[i-1][j]*2-dp[i-j-2][j]。

但这还是不够的。我们之前的推导都是基于第i-j-1个位置一定存在的前提下(i>j不能保证第i-j-1个位置一定存在),那如果第i-j-1个位置不存在,第i-j-2个位置也就不存在,上述方程也就不成立了。但这种情况很好想,此时一定是i==j+1,从第1个位置到第j个位置全部都是H,只有这一种情况,所以方程变成dp[i][j]=dp[i-1][j]*2-1。

综上:

dp[i][j]表示抛掷i个硬币出现连续至多j个H的情况种数

dp[0][j]=1

i<=j:dp[i][j]=dp[i-1][j]*2

i>j :i==j+1:dp[i][j]=dp[i-1][j]*2-1

else: dp[i][j]=dp[i-1][j]*2-dp[i-j-2][j]

ans=dp[n][n]-dp[n][k-1]

需要用到大数。

Java实现代码:

 import java.util.*;
 import java.io.*;
 import java.math.BigInteger;
 public class Main
 {
     public static void main(String[] args)
     {
         BigInteger[][] dp = new BigInteger[105][105];
         for(int i=0; i<=100; ++i)
         {
             dp[0][i]=new BigInteger("1");
             for(int j=1; j<=100; ++j)
             {
                 dp[j][i]=new BigInteger("0");
                 if(j<=i) dp[j][i]=dp[j-1][i].add(dp[j-1][i]);
                 else if(j==i+1) dp[j][i]=dp[j-1][i].add(dp[j-1][i].subtract(new BigInteger("1")));
                 else dp[j][i]=dp[j-1][i].add(dp[j-1][i].subtract(dp[j-i-2][i]));
             }
         }
         Scanner in = new Scanner(System.in);
         while(in.hasNextInt())
         {
             int a=in.nextInt(),b=in.nextInt();
             System.out.println(dp[a][a].subtract(dp[a][b-1]));
         }
     }
 }

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