UVALive 3989 Ladies' Choice（稳定婚姻问题：稳定匹配、合作博弈）

题意：男女各n人，进行婚配，对于每个人来说，所有异性都存在优先次序，即最喜欢某人，其次喜欢某人...输出一个稳定婚配方案。所谓稳定，就是指未结婚的一对异性，彼此喜欢对方的程度都胜过自己的另一半，那么这对异性就有私奔的可能性。

这里明显也是一个匹配问题，与最佳二分完美匹配所不同的是，二分匹配重在求最佳权值，而这里求的是满足彼此的要求。这里用到了Gale-Shapley算法。

算法学习：http://wenku.baidu.com/view/964a503843323968011c92c3.html

　　　　　http://wenku.baidu.com/view/7aa841f2fab069dc502201cb.html

前者描述详细，值得一看；后者虽然描述不够清晰，但给出了优劣势的证明，并且对第一篇文章倒数第三段提到的“欺诈与博弈”给出了具体样例，可以借鉴。

先把代码贴出来，其实就是贪心的思路，模拟一下这种操作方式，O(n2)的复杂度，已经是输入复杂度了，不能再省了。

uva挂了，所以不保证code的正确性。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<memory.h>
 using namespace std;
 #define Clear(f, nr) memset(f, nr, sizeof(f))
 const int SIZE = ;
 const int INF =  << ;
 int n;
 int men[SIZE][SIZE], wmen[SIZE][SIZE];
 int menChs[SIZE];  //女生的选择
 int que[SIZE * SIZE];
 bool vis[SIZE][SIZE];
 void StableMarriage()
 {
  int front = , rear = ;
  Clear(menChs, -);
  Clear(vis, );
  for(int i = ; i <= n; i ++)
   que[rear ++] = i;

  while(front < rear) {
   int tmp = que[front ++];
   for(int i = ; i <= n; i ++) {
    if(!vis[tmp][wmen[tmp][i]]) {
     vis[tmp][wmen[tmp][i]] = ;
     if(menChs[wmen[tmp][i]] == -) {
      menChs[wmen[tmp][i]] = tmp;
      break;  //忘加一个break改了一个小时
     }
     else {
      int mark = menChs[wmen[tmp][i]];
      if(men[wmen[tmp][i]][mark] < men[wmen[tmp][i]][tmp]) {
       menChs[wmen[tmp][i]] = tmp;
       que[rear ++] = mark;
       break;
      }
     }
    }
   }
  }

  return ;
 }
 void Print()
 {
  for(int j = ; j <= n; j ++)
   for(int i = ; i <= n; i ++)
    if(menChs[i] == j)
     cout << i << endl;
 }
 int main()
 {
  int T, x;
  cin >> T;
  int gg = ;
  while(T --) {
   if(gg ++) puts("");
   cin >> n;
   for(int i = ; i <= n; i ++)
    for(int j = ; j <= n; j ++)
     cin >> wmen[i][j];  //女生记邻接表
   for(int i = ; i <= n; i ++)
    for(int j = ; j <= n; j ++) {
     cin >> x;
     men[i][x] = n - j;  //男生记邻接阵 权值
    }
   StableMarriage();
   Print();
  }
 }

同样还是用自己的话描述一下：

　　一、首先给出算法：依据优先次序，男生在第一轮分别向自己最喜欢的女生求婚，女生对于求婚，总是从中选择最理想的人选。一轮结束后，男生的结果是求婚成功或者被拒。第二轮，单身们继续追求真爱，向各自喜好的排在第二的人求婚（不管对方是否有男伴），女生同样是选择最理想的人选。这一轮结束后，男生的结果是求婚成功、被拒，又或是被其他男人抢走女伴，重新沦为单身。第三轮...直到不存在单身男子为止。

　　二、为什么这样就能得到“稳定”的方案呢？

　　在算法运行结束后，对于一对(x,y)，男生x是按优先次序，从高到低向女生求婚，之前的女生都拒绝了他，才会与y成婚。假设仍存在不稳定，那么相比于y，会使男生x私奔的只有那些拒绝了x的女生，由算法可知，女生拒绝x的理由是她们有更优的人选，所以女生们没有理由跟x私奔，假设失败。所以Gale-Shapley算法一定能得到稳定方案。

　　三、进一步讨论：优势问题。看似对男生残酷（不断地表白）的选择方式，其实最终得到的方案，是在稳定前提下，男生的最优方案。相对应的，对女生而言是最差的方案。

　　“男生最优”其实不难理解，因为男生x是按优先顺序表白的，比成婚对象y更理想的女生都拒绝了x，理由是有了比x更好的x'。若是对男生而言，还存在更优方案，那么只能去“强迫”拒绝了x的女生y'，组成(x,y')。可是对于x'而言，被x替换掉以后只能找不如y'的女生成婚了，不稳定也就出现了：(x',y')会私奔。所以不会有更优方案，原方案就是“男生最优”。

　　“女生最劣”不好理解，不过可以仿照上述分析。对于女生而言，若还有更劣势的情况，只能是女生y还可能和不如x的男生x'成婚，组成(x',y)，这里注意，那么x在被拒之后，只能去追求不如y的女生，不稳定也就出现了：(x,y)会私奔，所以不会有更劣方案，原方案已经是“女生最劣”。

　　另一种抽象的解释：已知在稳定条件下，对于男生、女生，方案的优劣都有上下界。在方案未定之前，整个系统是不稳定的（仍有单身，说明跟别人抢老婆失败了= =）。男生逐渐降低自己的要求（逼近上界），主动出击，寻求最理想的真爱；女生被动接受，在选择她的众多男生中选择最佳（逼近下界）。当系统稳定（单身消失），男女生的选择分别是在稳定条件下的最优、最劣。（注意，女生最后的组合(x,y)，虽然x不一定是最差的，但是比x好的都被其他女生抢走了，没能向y表白）

　　优劣只是相对而言，交换顺序，就是女生主动、男生被动，最终方案就是“男生最劣”、“女生最优”。

　　四、“欺诈与博弈”

　　既然“女生最劣”，是不是可以有更优解呢？这就要欺诈。

　　男　　　　    女

　　1：BADC　　A：1234

　　2：ABCD　　B：2143

　　3：BCAD　　C：3241

　　4：ADBC　　D：4231

　　原本按照G-S算法，第一轮结束的结果是：(2,A),(1,B)，3、4分别被B,A拒绝了；最终结果是(2,A)(1,B)(3,C)(4,D)。若A,B提前了解了每个人的优先序列，进行欺诈，在第一轮选择(4,A),(3,B)，虽然A,B暂时配偶不理想，但是最终结果：(1,A)(2,B)(3,C)(4,D)对于女生而言是最优解。

　　五、局限

　　G-S算法的基础，是将数据分为两个集合（数量不一样，就不能依照“单身消失”这一条件结束，而应该判断全部单身男子是否访问完各自的优先序列），由一个集合主动，另一个被动。若集合数>2，就不存在绝对的主动、被动：x选择y，可能y去选择z。例如寝室分配，2n个人分n个寝室，每个人对其他(2n-1)人有喜恶，就不能用G-S算法解决。（想想看，若是在婚配问题上，就是说每个男生的优先序列上除了女生，还混进了(n-1)个男生...）事实上，它本身很可能不存在稳定方案，具体看第一篇文章的倒数第二段。

　　六、拓展

　　G-S算法中，后者“S”所表示的Shapley在2012年获得诺贝尔经济学奖，以下是相关介绍，主要研究算法部分。

　　http://wenku.baidu.com/view/da999a2c4b35eefdc8d33354.html

　　从第四页的“（二）稳定配置理论”开始（前面的经济术语恶心死了），介绍了两种合作博弈的算法：Gale-Sharpley算法和顶端交易循环算法。其中G-S算法除了“存在性”，“最优性”外，还介绍了“唯一性”：当且仅当男人的最优匹配和女人的最优匹配一致时，稳定条件下只包含唯一解。

　　G-S算法用于解决“双边市场”的问题（男女各有所需），对于“单边市场”，即只有一侧存在需求（想象一下女生不会拒绝的情况），要用到“顶端交易循环算法”，例2中有详细介绍。（通俗来讲，都用到贪心的思想）

　　首先明确“单边市场”下的稳定指的是什么：n个人选择n件物品，A选1，B选2，不会同时存在A更喜欢2，B更喜欢1，否则他们就可以交换（交易），即不稳定。

　　给出算法：首先随意分配n件物品到n个人手中，随意选一个人，找到其优先序列中的第一件物品，观察该物品现在在谁手上，两个人之间构成有向边（纯粹是为了好表达才用有向边描述），重复建边过程，必然会产生一个环，环上的人通过彼此交换物品，可以实现每个人都获得最想要的物品。至此，一轮结束，环上的人及其物品不再考虑，其余人优先序列上去除这些物品。重复操作，直到所有人退出。

　　为什么能成环就不用解释了，注意如果自己手上拿着的就是最想要的物品，构成自环，同样退出考虑范围。

　　为什么这样就稳定呢？

　　沿着算法的思路，第一轮退出的人不存在不稳定的可能，他们拿到了最理想的物品，没有人可以和他们交换。那么对于第一轮留下的全部人而言，第二轮退出的人不存在不稳定的可能，这些人要么拿到最理想的物品，要么拿到次理想的物品（最理想的物品被第一轮的人拿走了），第二轮留下的人不存在与这些人交换的可能。以此类推，方案稳定。

　　例3、例4、例5都挺有意思，不过我认为真正要注意的不仅仅是分配的方法，还有判断不稳定的条件，什么是真正的公平我们不能一概而论，但如何能在某一方面实现相对公平才是要讨论的。就比如例4中提到的，五家合起来修路，若还不如两家合起来划算，为何还要五家一起。（例4让我又想到了电梯付费，是一个道理）

　　还有一点疑问，就是文章中“罗斯对NRMP的重新设计，确保已婚医生夫妇也能实现稳定的匹配”。究竟是怎样的？是不是把夫妇二人缩成一个点就可以了？